Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32352 / 24479
↖ ↑ ↗
← N 41.380930°
W  2.285156°		 ← 458.29 m → N 41.380930°
W  2.279663°		 →
↑
458.33 m
↓
↑
458.33 m
↓
N 41.376808°
W  2.285156°		 ← 458.32 m →
210 056 m²		 N 41.376808°
W  2.279663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493659973144531 y=0.373527526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493659973144531 × 216)
    floor (0.493659973144531 × 65536)
    floor (32352.5)     		tx = 32352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373527526855469 × 216)
    floor (0.373527526855469 × 65536)
    floor (24479.5)     		ty = 24479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32352 / 24479 ti = "16/32352/24479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32352/24479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32352 ÷ 216
    32352 ÷ 65536     		x = 0.49365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24479 ÷ 216
    24479 ÷ 65536     		y = 0.373519897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03988350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373519897460938 × 2 - 1) × π
    0.252960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.794697921901291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03988350} λ = -0.03988350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.794697921901291))-π/2
    2×atan(2.21377216370306)-π/2
    2×1.14651490479629-π/2
    2.29302980959258-1.57079632675     		φ = 0.72223348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03988350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72223348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.380930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32352 KachelY 24479 -0.03988350 0.72223348 -2.285156 41.380930
    Oben rechts KachelX + 1 32353 KachelY 24479 -0.03978763 0.72223348 -2.279663 41.380930
    Unten links KachelX 32352 KachelY + 1 24480 -0.03988350 0.72216154 -2.285156 41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 32353 KachelY + 1 24480 -0.03978763 0.72216154 -2.279663 41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72223348-0.72216154) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dl = 458.329739999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72223348-0.72216154) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dr = 458.329739999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03988350--0.03978763) × cos(0.72223348) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.750331132722728 × 6371000     		do = 458.293079317312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03988350--0.03978763) × cos(0.72216154) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 458.322125250787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72223348)-sin(0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750331132722728-0.750378687593506)×R²
    abs(-0.03978763--0.03988350)×4.75548707777884e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.75548707777884e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.75548707777884e-05×40589641000000     		ar = 210056.004285337m²