Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32351 / 24480
↖ ↑ ↗
← N 41.376808°
W  2.290649°		 ← 458.32 m → N 41.376808°
W  2.285156°		 →
↑
458.33 m
↓
↑
458.33 m
↓
N 41.372687°
W  2.290649°		 ← 458.35 m →
210 069 m²		 N 41.372687°
W  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493644714355469 y=0.373542785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493644714355469 × 216)
    floor (0.493644714355469 × 65536)
    floor (32351.5)     		tx = 32351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373542785644531 × 216)
    floor (0.373542785644531 × 65536)
    floor (24480.5)     		ty = 24480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32351 / 24480 ti = "16/32351/24480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32351/24480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32351 ÷ 216
    32351 ÷ 65536     		x = 0.493637084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24480 ÷ 216
    24480 ÷ 65536     		y = 0.37353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493637084960938 × 2 - 1) × π
    -0.012725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03997937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37353515625 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.794602048102051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03997937} λ = -0.03997937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.794602048102051))-π/2
    2×atan(2.21355993112901)-π/2
    2×1.14647893510838-π/2
    2.29295787021675-1.57079632675     		φ = 0.72216154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03997937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.290649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72216154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32351 KachelY 24480 -0.03997937 0.72216154 -2.290649 41.376808
    Oben rechts KachelX + 1 32352 KachelY 24480 -0.03988350 0.72216154 -2.285156 41.376808
    Unten links KachelX 32351 KachelY + 1 24481 -0.03997937 0.72208960 -2.290649 41.372687
    Unten rechts KachelX + 1 32352 KachelY + 1 24481 -0.03988350 0.72208960 -2.285156 41.372687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72216154-0.72208960) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dl = 458.329739999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72216154-0.72208960) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dr = 458.329739999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03997937--0.03988350) × cos(0.72216154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750378687593506 × 6371000     		do = 458.322125250754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03997937--0.03988350) × cos(0.72208960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750426238580801 × 6371000     		du = 458.351168812245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72216154)-sin(0.72208960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750378687593506-0.750426238580801)×R²
    abs(-0.03988350--0.03997937)×4.75509872952529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75509872952529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75509872952529e-05×40589641000000     		ar = 210069.316356979m²