Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32324 / 23908
↖ ↑ ↗
← N 43.691708°
W  2.438965°		 ← 441.69 m → N 43.691708°
W  2.433472°		 →
↑
441.70 m
↓
↑
441.70 m
↓
N 43.687736°
W  2.438965°		 ← 441.72 m →
195 100 m²		 N 43.687736°
W  2.433472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493232727050781 y=0.364814758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493232727050781 × 216)
    floor (0.493232727050781 × 65536)
    floor (32324.5)     		tx = 32324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364814758300781 × 216)
    floor (0.364814758300781 × 65536)
    floor (23908.5)     		ty = 23908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32324 / 23908 ti = "16/32324/23908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32324/23908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32324 ÷ 216
    32324 ÷ 65536     		x = 0.49322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23908 ÷ 216
    23908 ÷ 65536     		y = 0.36480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04256797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36480712890625 × 2 - 1) × π
    0.2703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.849441861267395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04256797} λ = -0.04256797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849441861267395))-π/2
    2×atan(2.33834136875157)-π/2
    2×1.1666802427528-π/2
    2.33336048550561-1.57079632675     		φ = 0.76256416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04256797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.438965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76256416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.691708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32324 KachelY 23908 -0.04256797 0.76256416 -2.438965 43.691708
    Oben rechts KachelX + 1 32325 KachelY 23908 -0.04247209 0.76256416 -2.433472 43.691708
    Unten links KachelX 32324 KachelY + 1 23909 -0.04256797 0.76249483 -2.438965 43.687736
    Unten rechts KachelX + 1 32325 KachelY + 1 23909 -0.04247209 0.76249483 -2.433472 43.687736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76256416-0.76249483) × R
    6.93300000000896e-05 × 6371000     		dl = 441.701430000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76256416-0.76249483) × R
    6.93300000000896e-05 × 6371000     		dr = 441.701430000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04256797--0.04247209) × cos(0.76256416) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.72306712499716 × 6371000     		do = 441.686623443858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04256797--0.04247209) × cos(0.76249483) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.723115014882413 × 6371000     		du = 441.715877051142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76256416)-sin(0.76249483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72306712499716-0.723115014882413)×R²
    abs(-0.04247209--0.04256797)×4.78898852529497e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78898852529497e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78898852529497e-05×40589641000000     		ar = 195100.073945312m²