Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32321 / 22465
↖ ↑ ↗
← N 49.149377°
W  2.455444°		 ← 399.55 m → N 49.149377°
W  2.449951°		 →
↑
399.53 m
↓
↑
399.53 m
↓
N 49.145784°
W  2.455444°		 ← 399.58 m →
159 637 m²		 N 49.145784°
W  2.449951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493186950683594 y=0.342796325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493186950683594 × 216)
    floor (0.493186950683594 × 65536)
    floor (32321.5)     		tx = 32321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342796325683594 × 216)
    floor (0.342796325683594 × 65536)
    floor (22465.5)     		ty = 22465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32321 / 22465 ti = "16/32321/22465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32321/22465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32321 ÷ 216
    32321 ÷ 65536     		x = 0.493179321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22465 ÷ 216
    22465 ÷ 65536     		y = 0.342788696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493179321289062 × 2 - 1) × π
    -0.013641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04285559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342788696289062 × 2 - 1) × π
    0.314422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.987787753570877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04285559} λ = -0.04285559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987787753570877))-π/2
    2×atan(2.68528737914117)-π/2
    2×1.21430738833402-π/2
    2.42861477666805-1.57079632675     		φ = 0.85781845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04285559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.455444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85781845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.149377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32321 KachelY 22465 -0.04285559 0.85781845 -2.455444 49.149377
    Oben rechts KachelX + 1 32322 KachelY 22465 -0.04275971 0.85781845 -2.449951 49.149377
    Unten links KachelX 32321 KachelY + 1 22466 -0.04285559 0.85775574 -2.455444 49.145784
    Unten rechts KachelX + 1 32322 KachelY + 1 22466 -0.04275971 0.85775574 -2.449951 49.145784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85781845-0.85775574) × R
    6.27100000000214e-05 × 6371000     		dl = 399.525410000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85781845-0.85775574) × R
    6.27100000000214e-05 × 6371000     		dr = 399.525410000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04285559--0.04275971) × cos(0.85781845) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.654089185769106 × 6371000     		do = 399.551347179052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04285559--0.04275971) × cos(0.85775574) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.654136619420352 × 6371000     		du = 399.580322095117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85781845)-sin(0.85775574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654089185769106-0.654136619420352)×R²
    abs(-0.04275971--0.04285559)×4.74336512455986e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.74336512455986e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.74336512455986e-05×40589641000000     		ar = 159636.703957557m²