Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32320 / 23231
↖ ↑ ↗
← N 46.320378°
W  2.460937°		 ← 421.83 m → N 46.320378°
W  2.455444°		 →
↑
421.89 m
↓
↑
421.89 m
↓
N 46.316584°
W  2.460937°		 ← 421.85 m →
177 969 m²		 N 46.316584°
W  2.455444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493171691894531 y=0.354484558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493171691894531 × 216)
    floor (0.493171691894531 × 65536)
    floor (32320.5)     		tx = 32320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354484558105469 × 216)
    floor (0.354484558105469 × 65536)
    floor (23231.5)     		ty = 23231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32320 / 23231 ti = "16/32320/23231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32320/23231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32320 ÷ 216
    32320 ÷ 65536     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23231 ÷ 216
    23231 ÷ 65536     		y = 0.354476928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354476928710938 × 2 - 1) × π
    0.291046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.914348423352951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914348423352951))-π/2
    2×atan(2.49514894134834)-π/2
    2×1.18961971709367-π/2
    2.37923943418733-1.57079632675     		φ = 0.80844311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80844311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.320378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32320 KachelY 23231 -0.04295146 0.80844311 -2.460937 46.320378
    Oben rechts KachelX + 1 32321 KachelY 23231 -0.04285559 0.80844311 -2.455444 46.320378
    Unten links KachelX 32320 KachelY + 1 23232 -0.04295146 0.80837689 -2.460937 46.316584
    Unten rechts KachelX + 1 32321 KachelY + 1 23232 -0.04285559 0.80837689 -2.455444 46.316584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80844311-0.80837689) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dl = 421.887620000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80844311-0.80837689) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dr = 421.887620000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04285559) × cos(0.80844311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690625232315417 × 6371000     		do = 421.825445551656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04285559) × cos(0.80837689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690673121954347 × 6371000     		du = 421.854695957424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80844311)-sin(0.80837689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690625232315417-0.690673121954347)×R²
    abs(-0.04285559--0.04295146)×4.78896389298766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78896389298766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78896389298766e-05×40589641000000     		ar = 177969.103536563m²