Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3232 / 3744
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E104.062500°		 ← 1 441.46 m → S 81.518272°
E104.150390°		 →
↑
1 440.42 m
↓
↑
1 440.42 m
↓
S 81.531226°
E104.062500°		 ← 1 439.27 m →
2 074 729 m²		 S 81.531226°
E104.150390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7891845703125 y=0.9141845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7891845703125 × 212)
    floor (0.7891845703125 × 4096)
    floor (3232.5)     		tx = 3232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9141845703125 × 212)
    floor (0.9141845703125 × 4096)
    floor (3744.5)     		ty = 3744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3232 / 3744 ti = "12/3232/3744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3232/3744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3232 ÷ 212
    3232 ÷ 4096     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3744 ÷ 212
    3744 ÷ 4096     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3232 KachelY 3744 1.81623325 -1.42276224 104.062500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 3233 KachelY 3744 1.81776723 -1.42276224 104.150390 -81.518272
    Unten links KachelX 3232 KachelY + 1 3745 1.81623325 -1.42298833 104.062500 -81.531226
    Unten rechts KachelX + 1 3233 KachelY + 1 3745 1.81776723 -1.42298833 104.150390 -81.531226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42298833) × R
    0.000226089999999957 × 6371000     		dl = 1440.41938999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42298833) × R
    0.000226089999999957 × 6371000     		dr = 1440.41938999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.81776723) × cos(-1.42276224) × R
    0.00153398000000005 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 1441.45694939473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.81776723) × cos(-1.42298833) × R
    0.00153398000000005 × 0.147270385821466 × 6371000     		du = 1439.27150426465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42298833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147270385821466)×R²
    abs(1.81776723-1.81623325)×0.000223621010035618×R²
    0.00153398000000005×0.000223621010035618×6371000²
    0.00153398000000005×0.000223621010035618×40589641000000     		ar = 2074728.56982662m²