Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32319 / 22467
↖ ↑ ↗
← N 49.142190°
W  2.466431°		 ← 399.61 m → N 49.142190°
W  2.460937°		 →
↑
399.59 m
↓
↑
399.59 m
↓
N 49.138597°
W  2.466431°		 ← 399.64 m →
159 685 m²		 N 49.138597°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493156433105469 y=0.342826843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493156433105469 × 216)
    floor (0.493156433105469 × 65536)
    floor (32319.5)     		tx = 32319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342826843261719 × 216)
    floor (0.342826843261719 × 65536)
    floor (22467.5)     		ty = 22467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32319 / 22467 ti = "16/32319/22467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32319/22467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32319 ÷ 216
    32319 ÷ 65536     		x = 0.493148803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22467 ÷ 216
    22467 ÷ 65536     		y = 0.342819213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493148803710938 × 2 - 1) × π
    -0.013702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04304734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342819213867188 × 2 - 1) × π
    0.314361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.987596005972397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04304734} λ = -0.04304734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987596005972397))-π/2
    2×atan(2.68477253109701)-π/2
    2×1.21424467377091-π/2
    2.42848934754182-1.57079632675     		φ = 0.85769302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04304734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.466431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85769302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.142190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32319 KachelY 22467 -0.04304734 0.85769302 -2.466431 49.142190
    Oben rechts KachelX + 1 32320 KachelY 22467 -0.04295146 0.85769302 -2.460937 49.142190
    Unten links KachelX 32319 KachelY + 1 22468 -0.04304734 0.85763030 -2.466431 49.138597
    Unten rechts KachelX + 1 32320 KachelY + 1 22468 -0.04295146 0.85763030 -2.460937 49.138597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85769302-0.85763030) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dl = 399.589120000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85769302-0.85763030) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dr = 399.589120000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04304734--0.04295146) × cos(0.85769302) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.65418405806253 × 6371000     		do = 399.60930005993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04304734--0.04295146) × cos(0.85763030) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.65423149413128 × 6371000     		du = 399.638276452731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85769302)-sin(0.85763030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65418405806253-0.65423149413128)×R²
    abs(-0.04295146--0.04304734)×4.74360687502395e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.74360687502395e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.74360687502395e-05×40589641000000     		ar = 159685.317933065m²