Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32316 / 23876
↖ ↑ ↗
← N 43.818675°
W  2.482910°		 ← 440.75 m → N 43.818675°
W  2.477417°		 →
↑
440.75 m
↓
↑
440.75 m
↓
N 43.814711°
W  2.482910°		 ← 440.78 m →
194 265 m²		 N 43.814711°
W  2.477417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493110656738281 y=0.364326477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493110656738281 × 216)
    floor (0.493110656738281 × 65536)
    floor (32316.5)     		tx = 32316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364326477050781 × 216)
    floor (0.364326477050781 × 65536)
    floor (23876.5)     		ty = 23876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32316 / 23876 ti = "16/32316/23876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32316/23876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32316 ÷ 216
    32316 ÷ 65536     		x = 0.49310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23876 ÷ 216
    23876 ÷ 65536     		y = 0.36431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04333496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.852509822843079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04333496} λ = -0.04333496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852509822843079))-π/2
    2×atan(2.34552632617274)-π/2
    2×1.16778823843291-π/2
    2.33557647686582-1.57079632675     		φ = 0.76478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04333496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.818675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32316 KachelY 23876 -0.04333496 0.76478015 -2.482910 43.818675
    Oben rechts KachelX + 1 32317 KachelY 23876 -0.04323908 0.76478015 -2.477417 43.818675
    Unten links KachelX 32316 KachelY + 1 23877 -0.04333496 0.76471097 -2.482910 43.814711
    Unten rechts KachelX + 1 32317 KachelY + 1 23877 -0.04323908 0.76471097 -2.477417 43.814711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76478015-0.76471097) × R
    6.9180000000002e-05 × 6371000     		dl = 440.745780000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76478015-0.76471097) × R
    6.9180000000002e-05 × 6371000     		dr = 440.745780000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04333496--0.04323908) × cos(0.76478015) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.721534594260858 × 6371000     		do = 440.750474775443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04333496--0.04323908) × cos(0.76471097) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.721582491270972 × 6371000     		du = 440.779732734958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76478015)-sin(0.76471097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721534594260858-0.721582491270972)×R²
    abs(-0.04323908--0.04333496)×4.7897010113318e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7897010113318e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7897010113318e-05×40589641000000     		ar = 194265.359528956m²