Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32314 / 22574
↖ ↑ ↗
← N 48.756188°
W  2.493896°		 ← 402.67 m → N 48.756188°
W  2.488403°		 →
↑
402.65 m
↓
↑
402.65 m
↓
N 48.752567°
W  2.493896°		 ← 402.70 m →
162 140 m²		 N 48.752567°
W  2.488403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493080139160156 y=0.344459533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493080139160156 × 216)
    floor (0.493080139160156 × 65536)
    floor (32314.5)     		tx = 32314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344459533691406 × 216)
    floor (0.344459533691406 × 65536)
    floor (22574.5)     		ty = 22574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32314 / 22574 ti = "16/32314/22574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32314/22574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32314 ÷ 216
    32314 ÷ 65536     		x = 0.493072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22574 ÷ 216
    22574 ÷ 65536     		y = 0.344451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04352670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344451904296875 × 2 - 1) × π
    0.31109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.977337509453705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04352670} λ = -0.04352670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977337509453705))-π/2
    2×atan(2.65737158797153)-π/2
    2×1.21087617570565-π/2
    2.4217523514113-1.57079632675     		φ = 0.85095602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04352670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.493896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85095602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.756188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32314 KachelY 22574 -0.04352670 0.85095602 -2.493896 48.756188
    Oben rechts KachelX + 1 32315 KachelY 22574 -0.04343083 0.85095602 -2.488403 48.756188
    Unten links KachelX 32314 KachelY + 1 22575 -0.04352670 0.85089282 -2.493896 48.752567
    Unten rechts KachelX + 1 32315 KachelY + 1 22575 -0.04343083 0.85089282 -2.488403 48.752567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85095602-0.85089282) × R
    6.3200000000041e-05 × 6371000     		dl = 402.647200000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85095602-0.85089282) × R
    6.3200000000041e-05 × 6371000     		dr = 402.647200000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04352670--0.04343083) × cos(0.85095602) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.659264605297694 × 6371000     		do = 402.670758109729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04352670--0.04343083) × cos(0.85089282) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.659312124757421 × 6371000     		du = 402.699782414567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85095602)-sin(0.85089282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659264605297694-0.659312124757421)×R²
    abs(-0.04343083--0.04352670)×4.7519459726364e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.7519459726364e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.7519459726364e-05×40589641000000     		ar = 162140.096606485m²