Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32301 / 23885
↖ ↑ ↗
← N 43.782993°
W  2.565307°		 ← 440.97 m → N 43.782993°
W  2.559814°		 →
↑
441 m
↓
↑
441 m
↓
N 43.779027°
W  2.565307°		 ← 441 m →
194 474 m²		 N 43.779027°
W  2.559814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492881774902344 y=0.364463806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492881774902344 × 216)
    floor (0.492881774902344 × 65536)
    floor (32301.5)     		tx = 32301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364463806152344 × 216)
    floor (0.364463806152344 × 65536)
    floor (23885.5)     		ty = 23885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32301 / 23885 ti = "16/32301/23885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32301/23885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32301 ÷ 216
    32301 ÷ 65536     		x = 0.492874145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23885 ÷ 216
    23885 ÷ 65536     		y = 0.364456176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492874145507812 × 2 - 1) × π
    -0.014251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04477306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364456176757812 × 2 - 1) × π
    0.271087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851646958649918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04477306} λ = -0.04477306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851646958649918))-π/2
    2×atan(2.34350332840345)-π/2
    2×1.16747685226407-π/2
    2.33495370452814-1.57079632675     		φ = 0.76415738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04477306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.565307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76415738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.782993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32301 KachelY 23885 -0.04477306 0.76415738 -2.565307 43.782993
    Oben rechts KachelX + 1 32302 KachelY 23885 -0.04467719 0.76415738 -2.559814 43.782993
    Unten links KachelX 32301 KachelY + 1 23886 -0.04477306 0.76408816 -2.565307 43.779027
    Unten rechts KachelX + 1 32302 KachelY + 1 23886 -0.04467719 0.76408816 -2.559814 43.779027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76415738-0.76408816) × R
    6.9219999999981e-05 × 6371000     		dl = 441.000619999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76415738-0.76408816) × R
    6.9219999999981e-05 × 6371000     		dr = 441.000619999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04477306--0.04467719) × cos(0.76415738) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.721965646799507 × 6371000     		do = 440.967787425301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04477306--0.04467719) × cos(0.76408816) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.72201354038842 × 6371000     		du = 440.99704024367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76415738)-sin(0.76408816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721965646799507-0.72201354038842)×R²
    abs(-0.04467719--0.04477306)×4.7893588912995e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.7893588912995e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.7893588912995e-05×40589641000000     		ar = 194473.517987598m²