Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32291 / 22541
↖ ↑ ↗
← N 48.875555°
W  2.620239°		 ← 401.71 m → N 48.875555°
W  2.614746°		 →
↑
401.76 m
↓
↑
401.76 m
↓
N 48.871941°
W  2.620239°		 ← 401.74 m →
161 396 m²		 N 48.871941°
W  2.614746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492729187011719 y=0.343955993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492729187011719 × 216)
    floor (0.492729187011719 × 65536)
    floor (32291.5)     		tx = 32291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343955993652344 × 216)
    floor (0.343955993652344 × 65536)
    floor (22541.5)     		ty = 22541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32291 / 22541 ti = "16/32291/22541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32291/22541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32291 ÷ 216
    32291 ÷ 65536     		x = 0.492721557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22541 ÷ 216
    22541 ÷ 65536     		y = 0.343948364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492721557617188 × 2 - 1) × π
    -0.014556884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04573180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343948364257812 × 2 - 1) × π
    0.312103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.980501344828629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04573180} λ = -0.04573180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980501344828629))-π/2
    2×atan(2.66579238819444)-π/2
    2×1.21191783777712-π/2
    2.42383567555423-1.57079632675     		φ = 0.85303935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04573180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.620239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85303935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.875555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32291 KachelY 22541 -0.04573180 0.85303935 -2.620239 48.875555
    Oben rechts KachelX + 1 32292 KachelY 22541 -0.04563593 0.85303935 -2.614746 48.875555
    Unten links KachelX 32291 KachelY + 1 22542 -0.04573180 0.85297629 -2.620239 48.871941
    Unten rechts KachelX + 1 32292 KachelY + 1 22542 -0.04563593 0.85297629 -2.614746 48.871941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85303935-0.85297629) × R
    6.30600000000037e-05 × 6371000     		dl = 401.755260000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85303935-0.85297629) × R
    6.30600000000037e-05 × 6371000     		dr = 401.755260000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04573180--0.04563593) × cos(0.85303935) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.657696696957378 × 6371000     		do = 401.713098870983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04573180--0.04563593) × cos(0.85297629) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.657744197666295 × 6371000     		du = 401.742111723056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85303935)-sin(0.85297629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657696696957378-0.657744197666295)×R²
    abs(-0.04563593--0.04573180)×4.75007089164592e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.75007089164592e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.75007089164592e-05×40589641000000     		ar = 161396.178568748m²