Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32283 / 22603
↖ ↑ ↗
← N 48.651057°
W  2.664184°		 ← 403.51 m → N 48.651057°
W  2.658691°		 →
↑
403.54 m
↓
↑
403.54 m
↓
N 48.647428°
W  2.664184°		 ← 403.54 m →
162 839 m²		 N 48.647428°
W  2.658691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492607116699219 y=0.344902038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492607116699219 × 216)
    floor (0.492607116699219 × 65536)
    floor (32283.5)     		tx = 32283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344902038574219 × 216)
    floor (0.344902038574219 × 65536)
    floor (22603.5)     		ty = 22603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32283 / 22603 ti = "16/32283/22603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32283/22603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32283 ÷ 216
    32283 ÷ 65536     		x = 0.492599487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22603 ÷ 216
    22603 ÷ 65536     		y = 0.344894409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.014801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04649879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344894409179688 × 2 - 1) × π
    0.310211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.974557169275742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04649879} λ = -0.04649879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974557169275742))-π/2
    2×atan(2.64999345259376)-π/2
    2×1.20995872762963-π/2
    2.41991745525925-1.57079632675     		φ = 0.84912113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04649879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.664184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84912113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.651057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32283 KachelY 22603 -0.04649879 0.84912113 -2.664184 48.651057
    Oben rechts KachelX + 1 32284 KachelY 22603 -0.04640292 0.84912113 -2.658691 48.651057
    Unten links KachelX 32283 KachelY + 1 22604 -0.04649879 0.84905779 -2.664184 48.647428
    Unten rechts KachelX + 1 32284 KachelY + 1 22604 -0.04640292 0.84905779 -2.658691 48.647428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84912113-0.84905779) × R
    6.33399999999673e-05 × 6371000     		dl = 403.539139999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84912113-0.84905779) × R
    6.33399999999673e-05 × 6371000     		dr = 403.539139999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04649879--0.04640292) × cos(0.84912113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660643168720055 × 6371000     		do = 403.512767788247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04649879--0.04640292) × cos(0.84905779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660690716737581 × 6371000     		du = 403.54180953584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84912113)-sin(0.84905779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660643168720055-0.660690716737581)×R²
    abs(-0.04640292--0.04649879)×4.75480175260445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75480175260445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75480175260445e-05×40589641000000     		ar = 162839.055087519m²