Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32281 / 33283
↖ ↑ ↗
← S  2.827831°
W  2.675171°		 ← 610.04 m → S  2.827831°
W  2.669678°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.833317°
W  2.675171°		 ← 610.04 m →
372 140 m²		 S  2.833317°
W  2.669678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492576599121094 y=0.507865905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492576599121094 × 216)
    floor (0.492576599121094 × 65536)
    floor (32281.5)     		tx = 32281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507865905761719 × 216)
    floor (0.507865905761719 × 65536)
    floor (33283.5)     		ty = 33283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32281 / 33283 ti = "16/32281/33283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32281/33283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32281 ÷ 216
    32281 ÷ 65536     		x = 0.492568969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33283 ÷ 216
    33283 ÷ 65536     		y = 0.507858276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492568969726562 × 2 - 1) × π
    -0.014862060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04669054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507858276367188 × 2 - 1) × π
    -0.015716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0493750066086578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04669054} λ = -0.04669054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0493750066086578))-π/2
    2×atan(0.951824122426456)-π/2
    2×0.760720684892041-π/2
    1.52144136978408-1.57079632675     		φ = -0.04935496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04669054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.675171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04935496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.827831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32281 KachelY 33283 -0.04669054 -0.04935496 -2.675171 -2.827831
    Oben rechts KachelX + 1 32282 KachelY 33283 -0.04659467 -0.04935496 -2.669678 -2.827831
    Unten links KachelX 32281 KachelY + 1 33284 -0.04669054 -0.04945071 -2.675171 -2.833317
    Unten rechts KachelX + 1 32282 KachelY + 1 33284 -0.04659467 -0.04945071 -2.669678 -2.833317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04935496--0.04945071) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04935496--0.04945071) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04669054--0.04659467) × cos(-0.04935496) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998782291177777 × 6371000     		do = 610.044008343996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04669054--0.04659467) × cos(-0.04945071) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998777562780262 × 6371000     		du = 610.041120296622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04935496)-sin(-0.04945071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998782291177777-0.998777562780262)×R²
    abs(-0.04659467--0.04669054)×4.72839751552989e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.72839751552989e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.72839751552989e-06×40589641000000     		ar = 372140.148009322m²