Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32279 / 33277
↖ ↑ ↗
← S  2.794912°
W  2.686157°		 ← 610.12 m → S  2.794912°
W  2.680664°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
S  2.800398°
W  2.686157°		 ← 610.12 m →
372 228 m²		 S  2.800398°
W  2.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492546081542969 y=0.507774353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492546081542969 × 216)
    floor (0.492546081542969 × 65536)
    floor (32279.5)     		tx = 32279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507774353027344 × 216)
    floor (0.507774353027344 × 65536)
    floor (33277.5)     		ty = 33277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32279 / 33277 ti = "16/32279/33277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32279/33277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32279 ÷ 216
    32279 ÷ 65536     		x = 0.492538452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33277 ÷ 216
    33277 ÷ 65536     		y = 0.507766723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492538452148438 × 2 - 1) × π
    -0.014923095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04688229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507766723632812 × 2 - 1) × π
    -0.015533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0487997638132172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04688229} λ = -0.04688229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0487997638132172))-π/2
    2×atan(0.952371809906944)-π/2
    2×0.761007960111238-π/2
    1.52201592022248-1.57079632675     		φ = -0.04878041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04688229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.686157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04878041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.794912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32279 KachelY 33277 -0.04688229 -0.04878041 -2.686157 -2.794912
    Oben rechts KachelX + 1 32280 KachelY 33277 -0.04678641 -0.04878041 -2.680664 -2.794912
    Unten links KachelX 32279 KachelY + 1 33278 -0.04688229 -0.04887617 -2.686157 -2.800398
    Unten rechts KachelX + 1 32280 KachelY + 1 33278 -0.04678641 -0.04887617 -2.680664 -2.800398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04878041--0.04887617) × R
    9.57599999999934e-05 × 6371000     		dl = 610.086959999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04878041--0.04887617) × R
    9.57599999999934e-05 × 6371000     		dr = 610.086959999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04688229--0.04678641) × cos(-0.04878041) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998810471704546 × 6371000     		do = 610.124854880217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04688229--0.04678641) × cos(-0.04887617) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998805797765283 × 6371000     		du = 610.121999797501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04878041)-sin(-0.04887617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998810471704546-0.998805797765283)×R²
    abs(-0.04678641--0.04688229)×4.67393926273374e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.67393926273374e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.67393926273374e-06×40589641000000     		ar = 372228.347294375m²