Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32267 / 33291
↖ ↑ ↗
← S  2.871722°
W  2.752075°		 ← 610.02 m → S  2.871722°
W  2.746582°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.877208°
W  2.752075°		 ← 610.02 m →
372 126 m²		 S  2.877208°
W  2.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492362976074219 y=0.507987976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492362976074219 × 216)
    floor (0.492362976074219 × 65536)
    floor (32267.5)     		tx = 32267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507987976074219 × 216)
    floor (0.507987976074219 × 65536)
    floor (33291.5)     		ty = 33291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32267 / 33291 ti = "16/32267/33291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32267/33291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32267 ÷ 216
    32267 ÷ 65536     		x = 0.492355346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33291 ÷ 216
    33291 ÷ 65536     		y = 0.507980346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492355346679688 × 2 - 1) × π
    -0.015289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04803277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507980346679688 × 2 - 1) × π
    -0.015960693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0501419970025787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04803277} λ = -0.04803277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0501419970025787))-π/2
    2×atan(0.951094362363107)-π/2
    2×0.76033766396466-π/2
    1.52067532792932-1.57079632675     		φ = -0.05012100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04803277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.752075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05012100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.871722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32267 KachelY 33291 -0.04803277 -0.05012100 -2.752075 -2.871722
    Oben rechts KachelX + 1 32268 KachelY 33291 -0.04793690 -0.05012100 -2.746582 -2.871722
    Unten links KachelX 32267 KachelY + 1 33292 -0.04803277 -0.05021675 -2.752075 -2.877208
    Unten rechts KachelX + 1 32268 KachelY + 1 33292 -0.04793690 -0.05021675 -2.746582 -2.877208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05012100--0.05021675) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05012100--0.05021675) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04803277--0.04793690) × cos(-0.05012100) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998744205604148 × 6371000     		do = 610.02074614141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04803277--0.04793690) × cos(-0.05021675) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998739403949187 × 6371000     		du = 610.017813349284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05012100)-sin(-0.05021675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998744205604148-0.998739403949187)×R²
    abs(-0.04793690--0.04803277)×4.80165496075102e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.80165496075102e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.80165496075102e-06×40589641000000     		ar = 372125.943877219m²