Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32266 / 34264
↖ ↑ ↗
← S  8.189742°
W  2.757569°		 ← 604.62 m → S  8.189742°
W  2.752075°		 →
↑
604.54 m
↓
↑
604.54 m
↓
S  8.195179°
W  2.757569°		 ← 604.61 m →
365 518 m²		 S  8.195179°
W  2.752075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492347717285156 y=0.522834777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492347717285156 × 216)
    floor (0.492347717285156 × 65536)
    floor (32266.5)     		tx = 32266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522834777832031 × 216)
    floor (0.522834777832031 × 65536)
    floor (34264.5)     		ty = 34264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32266 / 34264 ti = "16/32266/34264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32266/34264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32266 ÷ 216
    32266 ÷ 65536     		x = 0.492340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34264 ÷ 216
    34264 ÷ 65536     		y = 0.5228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04812865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.143427203663208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04812865} λ = -0.04812865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143427203663208))-π/2
    2×atan(0.86638386746349)-π/2
    2×0.71392917899973-π/2
    1.42785835799946-1.57079632675     		φ = -0.14293797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04812865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.757569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14293797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.189742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32266 KachelY 34264 -0.04812865 -0.14293797 -2.757569 -8.189742
    Oben rechts KachelX + 1 32267 KachelY 34264 -0.04803277 -0.14293797 -2.752075 -8.189742
    Unten links KachelX 32266 KachelY + 1 34265 -0.04812865 -0.14303286 -2.757569 -8.195179
    Unten rechts KachelX + 1 32267 KachelY + 1 34265 -0.04803277 -0.14303286 -2.752075 -8.195179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14293797--0.14303286) × R
    9.48900000000141e-05 × 6371000     		dl = 604.54419000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14293797--0.14303286) × R
    9.48900000000141e-05 × 6371000     		dr = 604.54419000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04812865--0.04803277) × cos(-0.14293797) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989801749713247 × 6371000     		do = 604.621863718924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04812865--0.04803277) × cos(-0.14303286) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989788228012169 × 6371000     		du = 604.613603967809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14293797)-sin(-0.14303286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989801749713247-0.989788228012169)×R²
    abs(-0.04803277--0.04812865)×1.35217010770461e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.35217010770461e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.35217010770461e-05×40589641000000     		ar = 365518.138440364m²