Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32265 / 34276
↖ ↑ ↗
← S  8.254983°
W  2.763061°		 ← 604.46 m → S  8.254983°
W  2.757569°		 →
↑
604.48 m
↓
↑
604.48 m
↓
S  8.260419°
W  2.763061°		 ← 604.45 m →
365 381 m²		 S  8.260419°
W  2.757569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492332458496094 y=0.523017883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492332458496094 × 216)
    floor (0.492332458496094 × 65536)
    floor (32265.5)     		tx = 32265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523017883300781 × 216)
    floor (0.523017883300781 × 65536)
    floor (34276.5)     		ty = 34276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32265 / 34276 ti = "16/32265/34276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32265/34276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32265 ÷ 216
    32265 ÷ 65536     		x = 0.492324829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34276 ÷ 216
    34276 ÷ 65536     		y = 0.52301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492324829101562 × 2 - 1) × π
    -0.015350341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04822452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.144577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04822452} λ = -0.04822452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144577689254089))-π/2
    2×atan(0.865387678468225)-π/2
    2×0.71335984945184-π/2
    1.42671969890368-1.57079632675     		φ = -0.14407663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04822452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.763061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14407663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.254983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32265 KachelY 34276 -0.04822452 -0.14407663 -2.763061 -8.254983
    Oben rechts KachelX + 1 32266 KachelY 34276 -0.04812865 -0.14407663 -2.757569 -8.254983
    Unten links KachelX 32265 KachelY + 1 34277 -0.04822452 -0.14417151 -2.763061 -8.260419
    Unten rechts KachelX + 1 32266 KachelY + 1 34277 -0.04812865 -0.14417151 -2.757569 -8.260419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14407663--0.14417151) × R
    9.48799999999916e-05 × 6371000     		dl = 604.480479999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14407663--0.14417151) × R
    9.48799999999916e-05 × 6371000     		dr = 604.480479999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04822452--0.04812865) × cos(-0.14407663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989638903995905 × 6371000     		do = 604.45933927689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04822452--0.04812865) × cos(-0.14417151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989625276795521 × 6371000     		du = 604.451015949556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14407663)-sin(-0.14417151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989638903995905-0.989625276795521)×R²
    abs(-0.04812865--0.04822452)×1.36272003842253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36272003842253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36272003842253e-05×40589641000000     		ar = 365381.356176201m²