Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32265 / 33293
↖ ↑ ↗
← S  2.882694°
W  2.763061°		 ← 610.01 m → S  2.882694°
W  2.757569°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
S  2.888181°
W  2.763061°		 ← 610.01 m →
372 161 m²		 S  2.888181°
W  2.757569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492332458496094 y=0.508018493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492332458496094 × 216)
    floor (0.492332458496094 × 65536)
    floor (32265.5)     		tx = 32265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508018493652344 × 216)
    floor (0.508018493652344 × 65536)
    floor (33293.5)     		ty = 33293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32265 / 33293 ti = "16/32265/33293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32265/33293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32265 ÷ 216
    32265 ÷ 65536     		x = 0.492324829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33293 ÷ 216
    33293 ÷ 65536     		y = 0.508010864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492324829101562 × 2 - 1) × π
    -0.015350341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04822452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508010864257812 × 2 - 1) × π
    -0.016021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.050333744601059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04822452} λ = -0.04822452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.050333744601059))-π/2
    2×atan(0.950912009786588)-π/2
    2×0.760241911023708-π/2
    1.52048382204742-1.57079632675     		φ = -0.05031250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04822452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.763061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05031250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.882694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32265 KachelY 33293 -0.04822452 -0.05031250 -2.763061 -2.882694
    Oben rechts KachelX + 1 32266 KachelY 33293 -0.04812865 -0.05031250 -2.757569 -2.882694
    Unten links KachelX 32265 KachelY + 1 33294 -0.04822452 -0.05040826 -2.763061 -2.888181
    Unten rechts KachelX + 1 32266 KachelY + 1 33294 -0.04812865 -0.05040826 -2.757569 -2.888181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05031250--0.05040826) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05031250--0.05040826) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04822452--0.04812865) × cos(-0.05031250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998734593137721 × 6371000     		do = 610.014874964433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04822452--0.04812865) × cos(-0.05040826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998729772665925 × 6371000     		du = 610.011930679214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05031250)-sin(-0.05040826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998734593137721-0.998729772665925)×R²
    abs(-0.04812865--0.04822452)×4.8204717962852e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.8204717962852e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.8204717962852e-06×40589641000000     		ar = 372161.222771226m²