Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32261 / 22549
↖ ↑ ↗
← N 48.846644°
W  2.785034°		 ← 401.99 m → N 48.846644°
W  2.779541°		 →
↑
402.01 m
↓
↑
402.01 m
↓
N 48.843028°
W  2.785034°		 ← 402.02 m →
161 609 m²		 N 48.843028°
W  2.779541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492271423339844 y=0.344078063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492271423339844 × 216)
    floor (0.492271423339844 × 65536)
    floor (32261.5)     		tx = 32261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344078063964844 × 216)
    floor (0.344078063964844 × 65536)
    floor (22549.5)     		ty = 22549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32261 / 22549 ti = "16/32261/22549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32261/22549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32261 ÷ 216
    32261 ÷ 65536     		x = 0.492263793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22549 ÷ 216
    22549 ÷ 65536     		y = 0.344070434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492263793945312 × 2 - 1) × π
    -0.015472412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04860802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344070434570312 × 2 - 1) × π
    0.311859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.979734354434708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04860802} λ = -0.04860802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979734354434708))-π/2
    2×atan(2.66374853494861)-π/2
    2×1.21166554138667-π/2
    2.42333108277333-1.57079632675     		φ = 0.85253476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04860802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.785034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85253476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.846644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32261 KachelY 22549 -0.04860802 0.85253476 -2.785034 48.846644
    Oben rechts KachelX + 1 32262 KachelY 22549 -0.04851214 0.85253476 -2.779541 48.846644
    Unten links KachelX 32261 KachelY + 1 22550 -0.04860802 0.85247166 -2.785034 48.843028
    Unten rechts KachelX + 1 32262 KachelY + 1 22550 -0.04851214 0.85247166 -2.779541 48.843028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85253476-0.85247166) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dl = 402.010099999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85253476-0.85247166) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dr = 402.010099999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04860802--0.04851214) × cos(0.85253476) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		do = 401.987133605184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04860802--0.04851214) × cos(0.85247166) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.658124222097955 × 6371000     		du = 402.016155092383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85253476)-sin(0.85247166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658076712207009-0.658124222097955)×R²
    abs(-0.04851214--0.04860802)×4.75098909454852e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.75098909454852e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.75098909454852e-05×40589641000000     		ar = 161608.721298222m²