Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32260 / 22548
↖ ↑ ↗
← N 48.850258°
W  2.790527°		 ← 401.92 m → N 48.850258°
W  2.785034°		 →
↑
401.95 m
↓
↑
401.95 m
↓
N 48.846644°
W  2.790527°		 ← 401.95 m →
161 555 m²		 N 48.846644°
W  2.785034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492256164550781 y=0.344062805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492256164550781 × 216)
    floor (0.492256164550781 × 65536)
    floor (32260.5)     		tx = 32260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344062805175781 × 216)
    floor (0.344062805175781 × 65536)
    floor (22548.5)     		ty = 22548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32260 / 22548 ti = "16/32260/22548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32260/22548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32260 ÷ 216
    32260 ÷ 65536     		x = 0.49224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22548 ÷ 216
    22548 ÷ 65536     		y = 0.34405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    0.3118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.979830228233948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04870389} λ = -0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979830228233948))-π/2
    2×atan(2.66400393088356)-π/2
    2×1.21169708640548-π/2
    2.42339417281097-1.57079632675     		φ = 0.85259785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85259785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.850258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32260 KachelY 22548 -0.04870389 0.85259785 -2.790527 48.850258
    Oben rechts KachelX + 1 32261 KachelY 22548 -0.04860802 0.85259785 -2.785034 48.850258
    Unten links KachelX 32260 KachelY + 1 22549 -0.04870389 0.85253476 -2.790527 48.846644
    Unten rechts KachelX + 1 32261 KachelY + 1 22549 -0.04860802 0.85253476 -2.785034 48.846644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85259785-0.85253476) × R
    6.30900000000434e-05 × 6371000     		dl = 401.946390000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85259785-0.85253476) × R
    6.30900000000434e-05 × 6371000     		dr = 401.946390000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04870389--0.04860802) × cos(0.85259785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658029207225783 × 6371000     		do = 401.916192076295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04870389--0.04860802) × cos(0.85253476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		du = 401.945207537842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85259785)-sin(0.85253476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658029207225783-0.658076712207009)×R²
    abs(-0.04860802--0.04870389)×4.75049812261874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75049812261874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75049812261874e-05×40589641000000     		ar = 161554.593871273m²