Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32228 / 22543
↖ ↑ ↗
← N 48.868328°
W  2.966309°		 ← 401.77 m → N 48.868328°
W  2.960816°		 →
↑
401.82 m
↓
↑
401.82 m
↓
N 48.864715°
W  2.966309°		 ← 401.80 m →
161 445 m²		 N 48.864715°
W  2.960816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491767883300781 y=0.343986511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491767883300781 × 216)
    floor (0.491767883300781 × 65536)
    floor (32228.5)     		tx = 32228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343986511230469 × 216)
    floor (0.343986511230469 × 65536)
    floor (22543.5)     		ty = 22543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32228 / 22543 ti = "16/32228/22543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32228/22543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32228 ÷ 216
    32228 ÷ 65536     		x = 0.49176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22543 ÷ 216
    22543 ÷ 65536     		y = 0.343978881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05177185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343978881835938 × 2 - 1) × π
    0.312042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.980309597230148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05177185} λ = -0.05177185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980309597230148))-π/2
    2×atan(2.66528127790961)-π/2
    2×1.21185477734199-π/2
    2.42370955468398-1.57079632675     		φ = 0.85291323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05177185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.966309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85291323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.868328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32228 KachelY 22543 -0.05177185 0.85291323 -2.966309 48.868328
    Oben rechts KachelX + 1 32229 KachelY 22543 -0.05167598 0.85291323 -2.960816 48.868328
    Unten links KachelX 32228 KachelY + 1 22544 -0.05177185 0.85285016 -2.966309 48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 32229 KachelY + 1 22544 -0.05167598 0.85285016 -2.960816 48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85291323-0.85285016) × R
    6.30699999999429e-05 × 6371000     		dl = 401.818969999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85291323-0.85285016) × R
    6.30699999999429e-05 × 6371000     		dr = 401.818969999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05177185--0.05167598) × cos(0.85291323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657791695759649 × 6371000     		do = 401.771122977546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05177185--0.05167598) × cos(0.85285016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 401.800137234596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85291323)-sin(0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657791695759649-0.657839198768838)×R²
    abs(-0.05167598--0.05177185)×4.75030091884321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75030091884321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75030091884321e-05×40589641000000     		ar = 161445.088103227m²