Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32224 / 23008
↖ ↑ ↗
← N 47.159840°
W  2.988281°		 ← 415.35 m → N 47.159840°
W  2.982788°		 →
↑
415.33 m
↓
↑
415.33 m
↓
N 47.156105°
W  2.988281°		 ← 415.38 m →
172 512 m²		 N 47.156105°
W  2.982788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491706848144531 y=0.351081848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491706848144531 × 216)
    floor (0.491706848144531 × 65536)
    floor (32224.5)     		tx = 32224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351081848144531 × 216)
    floor (0.351081848144531 × 65536)
    floor (23008.5)     		ty = 23008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32224 / 23008 ti = "16/32224/23008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32224/23008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32224 ÷ 216
    32224 ÷ 65536     		x = 0.49169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23008 ÷ 216
    23008 ÷ 65536     		y = 0.35107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35107421875 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05215535} λ = -0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935728280583496))-π/2
    2×atan(2.54906921951791)-π/2
    2×1.19694540485905-π/2
    2.3938908097181-1.57079632675     		φ = 0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32224 KachelY 23008 -0.05215535 0.82309448 -2.988281 47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 32225 KachelY 23008 -0.05205947 0.82309448 -2.982788 47.159840
    Unten links KachelX 32224 KachelY + 1 23009 -0.05215535 0.82302929 -2.988281 47.156105
    Unten rechts KachelX + 1 32225 KachelY + 1 23009 -0.05205947 0.82302929 -2.982788 47.156105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82309448-0.82302929) × R
    6.51899999999372e-05 × 6371000     		dl = 415.3254899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82309448-0.82302929) × R
    6.51899999999372e-05 × 6371000     		dr = 415.3254899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05215535--0.05205947) × cos(0.82309448) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 415.351779738497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05215535--0.05205947) × cos(0.82302929) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.680003227692091 × 6371000     		du = 415.380978040519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82309448)-sin(0.82302929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.680003227692091)×R²
    abs(-0.05205947--0.05215535)×4.77993472683957e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.77993472683957e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.77993472683957e-05×40589641000000     		ar = 172512.244903073m²