Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32219 / 22595
↖ ↑ ↗
← N 48.680081°
W  3.015747°		 ← 403.32 m → N 48.680081°
W  3.010254°		 →
↑
403.28 m
↓
↑
403.28 m
↓
N 48.676454°
W  3.015747°		 ← 403.35 m →
162 659 m²		 N 48.676454°
W  3.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491630554199219 y=0.344779968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491630554199219 × 216)
    floor (0.491630554199219 × 65536)
    floor (32219.5)     		tx = 32219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344779968261719 × 216)
    floor (0.344779968261719 × 65536)
    floor (22595.5)     		ty = 22595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32219 / 22595 ti = "16/32219/22595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32219/22595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32219 ÷ 216
    32219 ÷ 65536     		x = 0.491622924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22595 ÷ 216
    22595 ÷ 65536     		y = 0.344772338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491622924804688 × 2 - 1) × π
    -0.016754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05263472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344772338867188 × 2 - 1) × π
    0.310455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.975324159669662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05263472} λ = -0.05263472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975324159669662))-π/2
    2×atan(2.65202675177664)-π/2
    2×1.21021200817744-π/2
    2.42042401635488-1.57079632675     		φ = 0.84962769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05263472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.015747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84962769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.680081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32219 KachelY 22595 -0.05263472 0.84962769 -3.015747 48.680081
    Oben rechts KachelX + 1 32220 KachelY 22595 -0.05253884 0.84962769 -3.010254 48.680081
    Unten links KachelX 32219 KachelY + 1 22596 -0.05263472 0.84956439 -3.015747 48.676454
    Unten rechts KachelX + 1 32220 KachelY + 1 22596 -0.05253884 0.84956439 -3.010254 48.676454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84962769-0.84956439) × R
    6.33000000000994e-05 × 6371000     		dl = 403.284300000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84962769-0.84956439) × R
    6.33000000000994e-05 × 6371000     		dr = 403.284300000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05263472--0.05253884) × cos(0.84962769) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.660262809344464 × 6371000     		do = 403.322514277022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05263472--0.05253884) × cos(0.84956439) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.660310348514012 × 6371000     		du = 403.351553649098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84962769)-sin(0.84956439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660262809344464-0.660310348514012)×R²
    abs(-0.05253884--0.05263472)×4.75391695479166e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.75391695479166e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.75391695479166e-05×40589641000000     		ar = 162659.493460202m²