Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32215 / 22599
↖ ↑ ↗
← N 48.665571°
W  3.037720°		 ← 403.40 m → N 48.665571°
W  3.032227°		 →
↑
403.48 m
↓
↑
403.48 m
↓
N 48.661943°
W  3.037720°		 ← 403.43 m →
162 766 m²		 N 48.661943°
W  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491569519042969 y=0.344841003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491569519042969 × 216)
    floor (0.491569519042969 × 65536)
    floor (32215.5)     		tx = 32215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344841003417969 × 216)
    floor (0.344841003417969 × 65536)
    floor (22599.5)     		ty = 22599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32215 / 22599 ti = "16/32215/22599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32215/22599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32215 ÷ 216
    32215 ÷ 65536     		x = 0.491561889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22599 ÷ 216
    22599 ÷ 65536     		y = 0.344833374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491561889648438 × 2 - 1) × π
    -0.016876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05301821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344833374023438 × 2 - 1) × π
    0.310333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.974940664472702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05301821} λ = -0.05301821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974940664472702))-π/2
    2×atan(2.65100990724508)-π/2
    2×1.21008538613682-π/2
    2.42017077227364-1.57079632675     		φ = 0.84937445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05301821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.037720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84937445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.665571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32215 KachelY 22599 -0.05301821 0.84937445 -3.037720 48.665571
    Oben rechts KachelX + 1 32216 KachelY 22599 -0.05292234 0.84937445 -3.032227 48.665571
    Unten links KachelX 32215 KachelY + 1 22600 -0.05301821 0.84931112 -3.037720 48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 32216 KachelY + 1 22600 -0.05292234 0.84931112 -3.032227 48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84937445-0.84931112) × R
    6.33300000000281e-05 × 6371000     		dl = 403.475430000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84937445-0.84931112) × R
    6.33300000000281e-05 × 6371000     		dr = 403.475430000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05301821--0.05292234) × cos(0.84937445) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.660452980181844 × 6371000     		do = 403.396602955143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05301821--0.05292234) × cos(0.84931112) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 403.425646590565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84937445)-sin(0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660452980181844-0.660500531290181)×R²
    abs(-0.05292234--0.05301821)×4.7551108336652e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.7551108336652e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.7551108336652e-05×40589641000000     		ar = 162766.477088799m²