Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32161 / 22687
↖ ↑ ↗
← N 48.345298°
W  3.334351°		 ← 406 m → N 48.345298°
W  3.328857°		 →
↑
406.02 m
↓
↑
406.02 m
↓
N 48.341646°
W  3.334351°		 ← 406.03 m →
164 850 m²		 N 48.341646°
W  3.328857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490745544433594 y=0.346183776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490745544433594 × 216)
    floor (0.490745544433594 × 65536)
    floor (32161.5)     		tx = 32161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346183776855469 × 216)
    floor (0.346183776855469 × 65536)
    floor (22687.5)     		ty = 22687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32161 / 22687 ti = "16/32161/22687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32161/22687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32161 ÷ 216
    32161 ÷ 65536     		x = 0.490737915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22687 ÷ 216
    22687 ÷ 65536     		y = 0.346176147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490737915039062 × 2 - 1) × π
    -0.018524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05819540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346176147460938 × 2 - 1) × π
    0.307647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.966503770139572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05819540} λ = -0.05819540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966503770139572))-π/2
    2×atan(2.62873770301175)-π/2
    2×1.20729047107492-π/2
    2.41458094214985-1.57079632675     		φ = 0.84378462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05819540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.334351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84378462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.345298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32161 KachelY 22687 -0.05819540 0.84378462 -3.334351 48.345298
    Oben rechts KachelX + 1 32162 KachelY 22687 -0.05809952 0.84378462 -3.328857 48.345298
    Unten links KachelX 32161 KachelY + 1 22688 -0.05819540 0.84372089 -3.334351 48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 32162 KachelY + 1 22688 -0.05809952 0.84372089 -3.328857 48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84378462-0.84372089) × R
    6.37300000000396e-05 × 6371000     		dl = 406.023830000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84378462-0.84372089) × R
    6.37300000000396e-05 × 6371000     		dr = 406.023830000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05819540--0.05809952) × cos(0.84378462) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.664639861178613 × 6371000     		do = 405.996242867949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05819540--0.05809952) × cos(0.84372089) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 406.025328807922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84378462)-sin(0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664639861178613-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.05809952--0.05819540)×4.76154039498189e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76154039498189e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76154039498189e-05×40589641000000     		ar = 164850.054343031m²