Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32160 / 22944
↖ ↑ ↗
← N 47.398349°
W  3.339844°		 ← 413.44 m → N 47.398349°
W  3.334351°		 →
↑
413.48 m
↓
↑
413.48 m
↓
N 47.394631°
W  3.339844°		 ← 413.47 m →
170 955 m²		 N 47.394631°
W  3.334351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490730285644531 y=0.350105285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490730285644531 × 216)
    floor (0.490730285644531 × 65536)
    floor (32160.5)     		tx = 32160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350105285644531 × 216)
    floor (0.350105285644531 × 65536)
    floor (22944.5)     		ty = 22944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32160 / 22944 ti = "16/32160/22944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32160/22944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32160 ÷ 216
    32160 ÷ 65536     		x = 0.49072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22944 ÷ 216
    22944 ÷ 65536     		y = 0.35009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35009765625 × 2 - 1) × π
    0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05829127} λ = -0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941864203734863))-π/2
    2×atan(2.5647581963108)-π/2
    2×1.19902679016648-π/2
    2.39805358033296-1.57079632675     		φ = 0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32160 KachelY 22944 -0.05829127 0.82725725 -3.339844 47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 32161 KachelY 22944 -0.05819540 0.82725725 -3.334351 47.398349
    Unten links KachelX 32160 KachelY + 1 22945 -0.05829127 0.82719235 -3.339844 47.394631
    Unten rechts KachelX + 1 32161 KachelY + 1 22945 -0.05819540 0.82719235 -3.334351 47.394631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82725725-0.82719235) × R
    6.49000000000344e-05 × 6371000     		dl = 413.477900000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82725725-0.82719235) × R
    6.49000000000344e-05 × 6371000     		dr = 413.477900000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05829127--0.05819540) × cos(0.82725725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 413.440519315639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05829127--0.05819540) × cos(0.82719235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676944950376512 × 6371000     		du = 413.469696653221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82725725)-sin(0.82719235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.676944950376512)×R²
    abs(-0.05819540--0.05829127)×4.77700095109501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77700095109501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77700095109501e-05×40589641000000     		ar = 170954.549853632m²