Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32144 / 22671
↖ ↑ ↗
← N 48.403680°
W  3.427734°		 ← 405.49 m → N 48.403680°
W  3.422241°		 →
↑
405.51 m
↓
↑
405.51 m
↓
N 48.400033°
W  3.427734°		 ← 405.52 m →
164 437 m²		 N 48.400033°
W  3.422241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490486145019531 y=0.345939636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490486145019531 × 216)
    floor (0.490486145019531 × 65536)
    floor (32144.5)     		tx = 32144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345939636230469 × 216)
    floor (0.345939636230469 × 65536)
    floor (22671.5)     		ty = 22671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32144 / 22671 ti = "16/32144/22671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32144/22671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32144 ÷ 216
    32144 ÷ 65536     		x = 0.490478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22671 ÷ 216
    22671 ÷ 65536     		y = 0.345932006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.01904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05982525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345932006835938 × 2 - 1) × π
    0.308135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.968037750927414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05982525} λ = -0.05982525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968037750927414))-π/2
    2×atan(2.63277323056398)-π/2
    2×1.20779995135592-π/2
    2.41559990271183-1.57079632675     		φ = 0.84480358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05982525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.427734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84480358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.403680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32144 KachelY 22671 -0.05982525 0.84480358 -3.427734 48.403680
    Oben rechts KachelX + 1 32145 KachelY 22671 -0.05972938 0.84480358 -3.422241 48.403680
    Unten links KachelX 32144 KachelY + 1 22672 -0.05982525 0.84473993 -3.427734 48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 32145 KachelY + 1 22672 -0.05972938 0.84473993 -3.422241 48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84480358-0.84473993) × R
    6.36499999999707e-05 × 6371000     		dl = 405.514149999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84480358-0.84473993) × R
    6.36499999999707e-05 × 6371000     		dr = 405.514149999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05982525--0.05972938) × cos(0.84480358) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.663878186168153 × 6371000     		do = 405.488676881312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05982525--0.05972938) × cos(0.84473993) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 405.517749595822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84480358)-sin(0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663878186168153-0.663925784885643)×R²
    abs(-0.05972938--0.05982525)×4.75987174903825e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.75987174903825e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.75987174903825e-05×40589641000000     		ar = 164437.290893862m²