Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32140 / 22668
↖ ↑ ↗
← N 48.414619°
W  3.449707°		 ← 405.44 m → N 48.414619°
W  3.444214°		 →
↑
405.45 m
↓
↑
405.45 m
↓
N 48.410972°
W  3.449707°		 ← 405.47 m →
164 393 m²		 N 48.410972°
W  3.444214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490425109863281 y=0.345893859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490425109863281 × 216)
    floor (0.490425109863281 × 65536)
    floor (32140.5)     		tx = 32140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345893859863281 × 216)
    floor (0.345893859863281 × 65536)
    floor (22668.5)     		ty = 22668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32140 / 22668 ti = "16/32140/22668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32140/22668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32140 ÷ 216
    32140 ÷ 65536     		x = 0.49041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22668 ÷ 216
    22668 ÷ 65536     		y = 0.34588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06020875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34588623046875 × 2 - 1) × π
    0.3082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.968325372325134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06020875} λ = -0.06020875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968325372325134))-π/2
    2×atan(2.63353058139037)-π/2
    2×1.20789541387456-π/2
    2.41579082774913-1.57079632675     		φ = 0.84499450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06020875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.449707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84499450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.414619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32140 KachelY 22668 -0.06020875 0.84499450 -3.449707 48.414619
    Oben rechts KachelX + 1 32141 KachelY 22668 -0.06011287 0.84499450 -3.444214 48.414619
    Unten links KachelX 32140 KachelY + 1 22669 -0.06020875 0.84493086 -3.449707 48.410972
    Unten rechts KachelX + 1 32141 KachelY + 1 22669 -0.06011287 0.84493086 -3.444214 48.410972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84499450-0.84493086) × R
    6.36400000000314e-05 × 6371000     		dl = 405.4504400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84499450-0.84493086) × R
    6.36400000000314e-05 × 6371000     		dr = 405.4504400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06020875--0.06011287) × cos(0.84499450) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.66373539631797 × 6371000     		do = 405.443749169217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06020875--0.06011287) × cos(0.84493086) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.663782995623116 × 6371000     		du = 405.472825275212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84499450)-sin(0.84493086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66373539631797-0.663782995623116)×R²
    abs(-0.06011287--0.06020875)×4.75993051460843e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.75993051460843e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.75993051460843e-05×40589641000000     		ar = 164393.241011718m²