Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32126 / 22911
↖ ↑ ↗
← N 47.520910°
W  3.526611°		 ← 412.48 m → N 47.520910°
W  3.521118°		 →
↑
412.52 m
↓
↑
412.52 m
↓
N 47.517200°
W  3.526611°		 ← 412.51 m →
170 162 m²		 N 47.517200°
W  3.521118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490211486816406 y=0.349601745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490211486816406 × 216)
    floor (0.490211486816406 × 65536)
    floor (32126.5)     		tx = 32126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349601745605469 × 216)
    floor (0.349601745605469 × 65536)
    floor (22911.5)     		ty = 22911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32126 / 22911 ti = "16/32126/22911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32126/22911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32126 ÷ 216
    32126 ÷ 65536     		x = 0.490203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22911 ÷ 216
    22911 ÷ 65536     		y = 0.349594116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.01959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06155098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349594116210938 × 2 - 1) × π
    0.300811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.945028039109787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06155098} λ = -0.06155098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.945028039109787))-π/2
    2×atan(2.57288551899648)-π/2
    2×1.20009633908621-π/2
    2.40019267817241-1.57079632675     		φ = 0.82939635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06155098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.526611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82939635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.520910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32126 KachelY 22911 -0.06155098 0.82939635 -3.526611 47.520910
    Oben rechts KachelX + 1 32127 KachelY 22911 -0.06145511 0.82939635 -3.521118 47.520910
    Unten links KachelX 32126 KachelY + 1 22912 -0.06155098 0.82933160 -3.526611 47.517200
    Unten rechts KachelX + 1 32127 KachelY + 1 22912 -0.06145511 0.82933160 -3.521118 47.517200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82939635-0.82933160) × R
    6.47500000000578e-05 × 6371000     		dl = 412.522250000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82939635-0.82933160) × R
    6.47500000000578e-05 × 6371000     		dr = 412.522250000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06155098--0.06145511) × cos(0.82939635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675321089356278 × 6371000     		do = 412.477862201883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06155098--0.06145511) × cos(0.82933160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675368842609735 × 6371000     		du = 412.507029305072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82939635)-sin(0.82933160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675321089356278-0.675368842609735)×R²
    abs(-0.06145511--0.06155098)×4.77532534575165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77532534575165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77532534575165e-05×40589641000000     		ar = 170162.311889581m²