Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32020 / 22324
↖ ↑ ↗
← N 49.653404°
W  4.108887°		 ← 395.43 m → N 49.653404°
W  4.103394°		 →
↑
395.45 m
↓
↑
395.45 m
↓
N 49.649848°
W  4.108887°		 ← 395.46 m →
156 378 m²		 N 49.649848°
W  4.103394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488594055175781 y=0.340644836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488594055175781 × 216)
    floor (0.488594055175781 × 65536)
    floor (32020.5)     		tx = 32020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340644836425781 × 216)
    floor (0.340644836425781 × 65536)
    floor (22324.5)     		ty = 22324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32020 / 22324 ti = "16/32020/22324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32020/22324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32020 ÷ 216
    32020 ÷ 65536     		x = 0.48858642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22324 ÷ 216
    22324 ÷ 65536     		y = 0.34063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48858642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07171360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34063720703125 × 2 - 1) × π
    0.3187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00130595926373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07171360} λ = -0.07171360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00130595926373))-π/2
    2×atan(2.72183411285884)-π/2
    2×1.21870586083473-π/2
    2.43741172166947-1.57079632675     		φ = 0.86661539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07171360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.108887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86661539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.653404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32020 KachelY 22324 -0.07171360 0.86661539 -4.108887 49.653404
    Oben rechts KachelX + 1 32021 KachelY 22324 -0.07161773 0.86661539 -4.103394 49.653404
    Unten links KachelX 32020 KachelY + 1 22325 -0.07171360 0.86655332 -4.108887 49.649848
    Unten rechts KachelX + 1 32021 KachelY + 1 22325 -0.07161773 0.86655332 -4.103394 49.649848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86661539-0.86655332) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dl = 395.44797000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86661539-0.86655332) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dr = 395.44797000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07171360--0.07161773) × cos(0.86661539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647409804235281 × 6371000     		do = 395.429990604995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07171360--0.07161773) × cos(0.86655332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647457109146831 × 6371000     		du = 395.458883866431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86661539)-sin(0.86655332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647409804235281-0.647457109146831)×R²
    abs(-0.07161773--0.07171360)×4.73049115498059e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73049115498059e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73049115498059e-05×40589641000000     		ar = 156377.700002887m²