Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31807 / 22850
↖ ↑ ↗
← N 47.746711°
W  5.278931°		 ← 410.70 m → N 47.746711°
W  5.273438°		 →
↑
410.74 m
↓
↑
410.74 m
↓
N 47.743017°
W  5.278931°		 ← 410.73 m →
168 696 m²		 N 47.743017°
W  5.273438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485343933105469 y=0.348670959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485343933105469 × 216)
    floor (0.485343933105469 × 65536)
    floor (31807.5)     		tx = 31807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348670959472656 × 216)
    floor (0.348670959472656 × 65536)
    floor (22850.5)     		ty = 22850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31807 / 22850 ti = "16/31807/22850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31807/22850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31807 ÷ 216
    31807 ÷ 65536     		x = 0.485336303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22850 ÷ 216
    22850 ÷ 65536     		y = 0.348663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485336303710938 × 2 - 1) × π
    -0.029327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09213472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348663330078125 × 2 - 1) × π
    0.30267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.950876340863434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09213472} λ = -0.09213472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950876340863434))-π/2
    2×atan(2.58797661551938)-π/2
    2×1.20206682206197-π/2
    2.40413364412395-1.57079632675     		φ = 0.83333732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09213472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.278931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83333732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.746711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31807 KachelY 22850 -0.09213472 0.83333732 -5.278931 47.746711
    Oben rechts KachelX + 1 31808 KachelY 22850 -0.09203885 0.83333732 -5.273438 47.746711
    Unten links KachelX 31807 KachelY + 1 22851 -0.09213472 0.83327285 -5.278931 47.743017
    Unten rechts KachelX + 1 31808 KachelY + 1 22851 -0.09203885 0.83327285 -5.273438 47.743017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83333732-0.83327285) × R
    6.44700000000942e-05 × 6371000     		dl = 410.7383700006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83333732-0.83327285) × R
    6.44700000000942e-05 × 6371000     		dr = 410.7383700006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09213472--0.09203885) × cos(0.83333732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672409293239325 × 6371000     		do = 410.699372744914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09213472--0.09203885) × cos(0.83327285) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672457011216446 × 6371000     		du = 410.728518301749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83333732)-sin(0.83327285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672409293239325-0.672457011216446)×R²
    abs(-0.09203885--0.09213472)×4.7717977121331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7717977121331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7717977121331e-05×40589641000000     		ar = 168695.97657918m²