Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31795 / 31819
↖ ↑ ↗
← N  5.205835°
W  5.344849°		 ← 608.33 m → N  5.205835°
W  5.339355°		 →
↑
608.24 m
↓
↑
608.24 m
↓
N  5.200365°
W  5.344849°		 ← 608.34 m →
370 013 m²		 N  5.200365°
W  5.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485160827636719 y=0.485527038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485160827636719 × 216)
    floor (0.485160827636719 × 65536)
    floor (31795.5)     		tx = 31795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485527038574219 × 216)
    floor (0.485527038574219 × 65536)
    floor (31819.5)     		ty = 31819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31795 / 31819 ti = "16/31795/31819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31795/31819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31795 ÷ 216
    31795 ÷ 65536     		x = 0.485153198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31819 ÷ 216
    31819 ÷ 65536     		y = 0.485519409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485153198242188 × 2 - 1) × π
    -0.029693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09328521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485519409179688 × 2 - 1) × π
    0.028961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0909842354788666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09328521} λ = -0.09328521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0909842354788666))-π/2
    2×atan(1.09525173900318)-π/2
    2×0.830827645766991-π/2
    1.66165529153398-1.57079632675     		φ = 0.09085896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09328521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.344849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09085896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.205835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31795 KachelY 31819 -0.09328521 0.09085896 -5.344849 5.205835
    Oben rechts KachelX + 1 31796 KachelY 31819 -0.09318933 0.09085896 -5.339355 5.205835
    Unten links KachelX 31795 KachelY + 1 31820 -0.09328521 0.09076349 -5.344849 5.200365
    Unten rechts KachelX + 1 31796 KachelY + 1 31820 -0.09318933 0.09076349 -5.339355 5.200365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09085896-0.09076349) × R
    9.54700000000003e-05 × 6371000     		dl = 608.239370000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09085896-0.09076349) × R
    9.54700000000003e-05 × 6371000     		dr = 608.239370000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09328521--0.09318933) × cos(0.09085896) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995875163529812 × 6371000     		do = 608.331817537381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09328521--0.09318933) × cos(0.09076349) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995883821366268 × 6371000     		du = 608.337106189594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09085896)-sin(0.09076349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995875163529812-0.995883821366268)×R²
    abs(-0.09318933--0.09328521)×8.6578364562051e-06×R²
    9.58799999999926e-05×8.6578364562051e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×8.6578364562051e-06×40589641000000     		ar = 370012.970114214m²