Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31794 / 31818
↖ ↑ ↗
← N  5.211306°
W  5.350342°		 ← 608.26 m → N  5.211306°
W  5.344849°		 →
↑
608.30 m
↓
↑
608.30 m
↓
N  5.205835°
W  5.350342°		 ← 608.27 m →
370 010 m²		 N  5.205835°
W  5.344849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485145568847656 y=0.485511779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485145568847656 × 216)
    floor (0.485145568847656 × 65536)
    floor (31794.5)     		tx = 31794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485511779785156 × 216)
    floor (0.485511779785156 × 65536)
    floor (31818.5)     		ty = 31818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31794 / 31818 ti = "16/31794/31818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31794/31818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31794 ÷ 216
    31794 ÷ 65536     		x = 0.485137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31818 ÷ 216
    31818 ÷ 65536     		y = 0.485504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.02972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09338108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485504150390625 × 2 - 1) × π
    0.02899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0910801092781067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09338108} λ = -0.09338108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0910801092781067))-π/2
    2×atan(1.09535674998235)-π/2
    2×0.830875384727005-π/2
    1.66175076945401-1.57079632675     		φ = 0.09095444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09338108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09095444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.211306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31794 KachelY 31818 -0.09338108 0.09095444 -5.350342 5.211306
    Oben rechts KachelX + 1 31795 KachelY 31818 -0.09328521 0.09095444 -5.344849 5.211306
    Unten links KachelX 31794 KachelY + 1 31819 -0.09338108 0.09085896 -5.350342 5.205835
    Unten rechts KachelX + 1 31795 KachelY + 1 31819 -0.09328521 0.09085896 -5.344849 5.205835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09095444-0.09085896) × R
    9.5479999999995e-05 × 6371000     		dl = 608.303079999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09095444-0.09085896) × R
    9.5479999999995e-05 × 6371000     		dr = 608.303079999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09338108--0.09328521) × cos(0.09095444) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.99586649570814 × 6371000     		do = 608.263076131364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09338108--0.09328521) × cos(0.09085896) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.995875163529812 × 6371000     		du = 608.268370330834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09095444)-sin(0.09085896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99586649570814-0.995875163529812)×R²
    abs(-0.09328521--0.09338108)×8.66782167197044e-06×R²
    9.58700000000118e-05×8.66782167197044e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×8.66782167197044e-06×40589641000000     		ar = 370009.913180952m²