Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31794 / 31763
↖ ↑ ↗
← N  5.512107°
W  5.350342°		 ← 607.96 m → N  5.512107°
W  5.344849°		 →
↑
607.98 m
↓
↑
607.98 m
↓
N  5.506640°
W  5.350342°		 ← 607.97 m →
369 634 m²		 N  5.506640°
W  5.344849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485145568847656 y=0.484672546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485145568847656 × 216)
    floor (0.485145568847656 × 65536)
    floor (31794.5)     		tx = 31794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484672546386719 × 216)
    floor (0.484672546386719 × 65536)
    floor (31763.5)     		ty = 31763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31794 / 31763 ti = "16/31794/31763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31794/31763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31794 ÷ 216
    31794 ÷ 65536     		x = 0.485137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31763 ÷ 216
    31763 ÷ 65536     		y = 0.484664916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.02972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09338108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484664916992188 × 2 - 1) × π
    0.030670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0963531682363129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09338108} λ = -0.09338108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0963531682363129))-π/2
    2×atan(1.10114788578693)-π/2
    2×0.833500375370619-π/2
    1.66700075074124-1.57079632675     		φ = 0.09620442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09338108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09620442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.512107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31794 KachelY 31763 -0.09338108 0.09620442 -5.350342 5.512107
    Oben rechts KachelX + 1 31795 KachelY 31763 -0.09328521 0.09620442 -5.344849 5.512107
    Unten links KachelX 31794 KachelY + 1 31764 -0.09338108 0.09610899 -5.350342 5.506640
    Unten rechts KachelX + 1 31795 KachelY + 1 31764 -0.09328521 0.09610899 -5.344849 5.506640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09620442-0.09610899) × R
    9.54299999999936e-05 × 6371000     		dl = 607.984529999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09620442-0.09610899) × R
    9.54299999999936e-05 × 6371000     		dr = 607.984529999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09338108--0.09328521) × cos(0.09620442) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.995375922868657 × 6371000     		do = 607.963440240714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09338108--0.09328521) × cos(0.09610899) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.995385084968799 × 6371000     		du = 607.969036339428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09620442)-sin(0.09610899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995375922868657-0.995385084968799)×R²
    abs(-0.09328521--0.09338108)×9.16210014223484e-06×R²
    9.58700000000118e-05×9.16210014223484e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×9.16210014223484e-06×40589641000000     		ar = 369634.067923151m²