Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31791 / 31854
↖ ↑ ↗
← N  5.014339°
W  5.366821°		 ← 608.45 m → N  5.014339°
W  5.361328°		 →
↑
608.49 m
↓
↑
608.49 m
↓
N  5.008866°
W  5.366821°		 ← 608.46 m →
370 240 m²		 N  5.008866°
W  5.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485099792480469 y=0.486061096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485099792480469 × 216)
    floor (0.485099792480469 × 65536)
    floor (31791.5)     		tx = 31791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486061096191406 × 216)
    floor (0.486061096191406 × 65536)
    floor (31854.5)     		ty = 31854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31791 / 31854 ti = "16/31791/31854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31791/31854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31791 ÷ 216
    31791 ÷ 65536     		x = 0.485092163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31854 ÷ 216
    31854 ÷ 65536     		y = 0.486053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485092163085938 × 2 - 1) × π
    -0.029815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09366870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486053466796875 × 2 - 1) × π
    0.02789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0876286525054626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09366870} λ = -0.09366870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0876286525054626))-π/2
    2×atan(1.09158269025771)-π/2
    2×0.829156523620467-π/2
    1.65831304724093-1.57079632675     		φ = 0.08751672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09366870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.366821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08751672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.014339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31791 KachelY 31854 -0.09366870 0.08751672 -5.366821 5.014339
    Oben rechts KachelX + 1 31792 KachelY 31854 -0.09357283 0.08751672 -5.361328 5.014339
    Unten links KachelX 31791 KachelY + 1 31855 -0.09366870 0.08742121 -5.366821 5.008866
    Unten rechts KachelX + 1 31792 KachelY + 1 31855 -0.09357283 0.08742121 -5.361328 5.008866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08751672-0.08742121) × R
    9.5510000000007e-05 × 6371000     		dl = 608.494210000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08751672-0.08742121) × R
    9.5510000000007e-05 × 6371000     		dr = 608.494210000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09366870--0.09357283) × cos(0.08751672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996172855527151 × 6371000     		do = 608.450196961948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09366870--0.09357283) × cos(0.08742121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996181199039373 × 6371000     		du = 608.455293077171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08751672)-sin(0.08742121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996172855527151-0.996181199039373)×R²
    abs(-0.09357283--0.09366870)×8.34351222167573e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.34351222167573e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.34351222167573e-06×40589641000000     		ar = 370239.972684502m²