Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31790 / 31803
↖ ↑ ↗
← N  5.293357°
W  5.372315°		 ← 608.25 m → N  5.293357°
W  5.366821°		 →
↑
608.18 m
↓
↑
608.18 m
↓
N  5.287888°
W  5.372315°		 ← 608.25 m →
369 922 m²		 N  5.287888°
W  5.366821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485084533691406 y=0.485282897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485084533691406 × 216)
    floor (0.485084533691406 × 65536)
    floor (31790.5)     		tx = 31790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485282897949219 × 216)
    floor (0.485282897949219 × 65536)
    floor (31803.5)     		ty = 31803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31790 / 31803 ti = "16/31790/31803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31790/31803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31790 ÷ 216
    31790 ÷ 65536     		x = 0.485076904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31803 ÷ 216
    31803 ÷ 65536     		y = 0.485275268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485076904296875 × 2 - 1) × π
    -0.02984619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09376458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485275268554688 × 2 - 1) × π
    0.029449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0925182162667084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09376458} λ = -0.09376458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0925182162667084))-π/2
    2×atan(1.09693312340464)-π/2
    2×0.831591418999747-π/2
    1.66318283799949-1.57079632675     		φ = 0.09238651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09376458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.372315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09238651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.293357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31790 KachelY 31803 -0.09376458 0.09238651 -5.372315 5.293357
    Oben rechts KachelX + 1 31791 KachelY 31803 -0.09366870 0.09238651 -5.366821 5.293357
    Unten links KachelX 31790 KachelY + 1 31804 -0.09376458 0.09229105 -5.372315 5.287888
    Unten rechts KachelX + 1 31791 KachelY + 1 31804 -0.09366870 0.09229105 -5.366821 5.287888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09238651-0.09229105) × R
    9.54600000000055e-05 × 6371000     		dl = 608.175660000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09238651-0.09229105) × R
    9.54600000000055e-05 × 6371000     		dr = 608.175660000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09376458--0.09366870) × cos(0.09238651) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995735400970974 × 6371000     		do = 608.246443371555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09376458--0.09366870) × cos(0.09229105) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995744203109956 × 6371000     		du = 608.251820171178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09238651)-sin(0.09229105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995735400970974-0.995744203109956)×R²
    abs(-0.09366870--0.09376458)×8.8021389813564e-06×R²
    9.58800000000065e-05×8.8021389813564e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×8.8021389813564e-06×40589641000000     		ar = 369922.317440422m²