Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31789 / 31813
↖ ↑ ↗
← N  5.238657°
W  5.377808°		 ← 608.24 m → N  5.238657°
W  5.372315°		 →
↑
608.24 m
↓
↑
608.24 m
↓
N  5.233187°
W  5.377808°		 ← 608.24 m →
369 955 m²		 N  5.233187°
W  5.372315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485069274902344 y=0.485435485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485069274902344 × 216)
    floor (0.485069274902344 × 65536)
    floor (31789.5)     		tx = 31789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485435485839844 × 216)
    floor (0.485435485839844 × 65536)
    floor (31813.5)     		ty = 31813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31789 / 31813 ti = "16/31789/31813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31789/31813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31789 ÷ 216
    31789 ÷ 65536     		x = 0.485061645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31813 ÷ 216
    31813 ÷ 65536     		y = 0.485427856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485061645507812 × 2 - 1) × π
    -0.029876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09386045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485427856445312 × 2 - 1) × π
    0.029144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0915594782743073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09386045} λ = -0.09386045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0915594782743073))-π/2
    2×atan(1.09588195592173)-π/2
    2×0.831114073282714-π/2
    1.66222814656543-1.57079632675     		φ = 0.09143182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09386045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.377808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09143182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.238657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31789 KachelY 31813 -0.09386045 0.09143182 -5.377808 5.238657
    Oben rechts KachelX + 1 31790 KachelY 31813 -0.09376458 0.09143182 -5.372315 5.238657
    Unten links KachelX 31789 KachelY + 1 31814 -0.09386045 0.09133635 -5.377808 5.233187
    Unten rechts KachelX + 1 31790 KachelY + 1 31814 -0.09376458 0.09133635 -5.372315 5.233187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09143182-0.09133635) × R
    9.54700000000003e-05 × 6371000     		dl = 608.239370000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09143182-0.09133635) × R
    9.54700000000003e-05 × 6371000     		dr = 608.239370000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09386045--0.09376458) × cos(0.09143182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995823022246239 × 6371000     		do = 608.236523072428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09386045--0.09376458) × cos(0.09133635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995831734546862 × 6371000     		du = 608.241844439096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09143182)-sin(0.09133635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995823022246239-0.995831734546862)×R²
    abs(-0.09376458--0.09386045)×8.71230062238215e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.71230062238215e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.71230062238215e-06×40589641000000     		ar = 369955.01821791m²