Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31787 / 31771
↖ ↑ ↗
← N  5.468364°
W  5.388794°		 ← 608.07 m → N  5.468364°
W  5.383301°		 →
↑
608.05 m
↓
↑
608.05 m
↓
N  5.462895°
W  5.388794°		 ← 608.08 m →
369 738 m²		 N  5.462895°
W  5.383301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485038757324219 y=0.484794616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485038757324219 × 216)
    floor (0.485038757324219 × 65536)
    floor (31787.5)     		tx = 31787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484794616699219 × 216)
    floor (0.484794616699219 × 65536)
    floor (31771.5)     		ty = 31771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31787 / 31771 ti = "16/31787/31771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31787/31771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31787 ÷ 216
    31787 ÷ 65536     		x = 0.485031127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31771 ÷ 216
    31771 ÷ 65536     		y = 0.484786987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485031127929688 × 2 - 1) × π
    -0.029937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09405220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484786987304688 × 2 - 1) × π
    0.030426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.095586177842392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09405220} λ = -0.09405220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.095586177842392))-π/2
    2×atan(1.10030363974193)-π/2
    2×0.833118639460405-π/2
    1.66623727892081-1.57079632675     		φ = 0.09544095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09405220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.388794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09544095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.468364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31787 KachelY 31771 -0.09405220 0.09544095 -5.388794 5.468364
    Oben rechts KachelX + 1 31788 KachelY 31771 -0.09395632 0.09544095 -5.383301 5.468364
    Unten links KachelX 31787 KachelY + 1 31772 -0.09405220 0.09534551 -5.388794 5.462895
    Unten rechts KachelX + 1 31788 KachelY + 1 31772 -0.09395632 0.09534551 -5.383301 5.462895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09544095-0.09534551) × R
    9.54400000000022e-05 × 6371000     		dl = 608.048240000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09544095-0.09534551) × R
    9.54400000000022e-05 × 6371000     		dr = 608.048240000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09405220--0.09395632) × cos(0.09544095) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99544896870801 × 6371000     		do = 608.071475799803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09405220--0.09395632) × cos(0.09534551) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995458059236125 × 6371000     		du = 608.077028762356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09544095)-sin(0.09534551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99544896870801-0.995458059236125)×R²
    abs(-0.09395632--0.09405220)×9.0905281151521e-06×R²
    9.58800000000065e-05×9.0905281151521e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×9.0905281151521e-06×40589641000000     		ar = 369738.479169468m²