Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31784 / 31844
↖ ↑ ↗
← N  5.069058°
W  5.405274°		 ← 608.46 m → N  5.069058°
W  5.399780°		 →
↑
608.43 m
↓
↑
608.43 m
↓
N  5.063586°
W  5.405274°		 ← 608.47 m →
370 209 m²		 N  5.063586°
W  5.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484992980957031 y=0.485908508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484992980957031 × 216)
    floor (0.484992980957031 × 65536)
    floor (31784.5)     		tx = 31784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485908508300781 × 216)
    floor (0.485908508300781 × 65536)
    floor (31844.5)     		ty = 31844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31784 / 31844 ti = "16/31784/31844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31784/31844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31784 ÷ 216
    31784 ÷ 65536     		x = 0.4849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31844 ÷ 216
    31844 ÷ 65536     		y = 0.48590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09433982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48590087890625 × 2 - 1) × π
    0.0281982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0885873904978638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09433982} λ = -0.09433982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0885873904978638))-π/2
    2×atan(1.09262973389477)-π/2
    2×0.829634037921872-π/2
    1.65926807584374-1.57079632675     		φ = 0.08847175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09433982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.405274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08847175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.069058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31784 KachelY 31844 -0.09433982 0.08847175 -5.405274 5.069058
    Oben rechts KachelX + 1 31785 KachelY 31844 -0.09424394 0.08847175 -5.399780 5.069058
    Unten links KachelX 31784 KachelY + 1 31845 -0.09433982 0.08837625 -5.405274 5.063586
    Unten rechts KachelX + 1 31785 KachelY + 1 31845 -0.09424394 0.08837625 -5.399780 5.063586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08847175-0.08837625) × R
    9.54999999999984e-05 × 6371000     		dl = 608.43049999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08847175-0.08837625) × R
    9.54999999999984e-05 × 6371000     		dr = 608.43049999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09433982--0.09424394) × cos(0.08847175) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.996088926803827 × 6371000     		do = 608.462395149771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09433982--0.09424394) × cos(0.08837625) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.996097360295821 × 6371000     		du = 608.467546760837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08847175)-sin(0.08837625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996088926803827-0.996097360295821)×R²
    abs(-0.09424394--0.09433982)×8.43349199375343e-06×R²
    9.58800000000065e-05×8.43349199375343e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×8.43349199375343e-06×40589641000000     		ar = 370208.646792194m²