Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31783 / 31783
↖ ↑ ↗
← N  5.402742°
W  5.410766°		 ← 608.07 m → N  5.402742°
W  5.405274°		 →
↑
608.11 m
↓
↑
608.11 m
↓
N  5.397273°
W  5.410766°		 ← 608.08 m →
369 779 m²		 N  5.397273°
W  5.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484977722167969 y=0.484977722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484977722167969 × 216)
    floor (0.484977722167969 × 65536)
    floor (31783.5)     		tx = 31783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484977722167969 × 216)
    floor (0.484977722167969 × 65536)
    floor (31783.5)     		ty = 31783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31783 / 31783 ti = "16/31783/31783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31783/31783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31783 ÷ 216
    31783 ÷ 65536     		x = 0.484970092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31783 ÷ 216
    31783 ÷ 65536     		y = 0.484970092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484970092773438 × 2 - 1) × π
    -0.030059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09443569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484970092773438 × 2 - 1) × π
    0.030059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0944356922515106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09443569} λ = -0.09443569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0944356922515106))-π/2
    2×atan(1.09903848416999)-π/2
    2×0.832545983346706-π/2
    1.66509196669341-1.57079632675     		φ = 0.09429564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09443569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.410766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09429564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.402742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31783 KachelY 31783 -0.09443569 0.09429564 -5.410766 5.402742
    Oben rechts KachelX + 1 31784 KachelY 31783 -0.09433982 0.09429564 -5.405274 5.402742
    Unten links KachelX 31783 KachelY + 1 31784 -0.09443569 0.09420019 -5.410766 5.397273
    Unten rechts KachelX + 1 31784 KachelY + 1 31784 -0.09433982 0.09420019 -5.405274 5.397273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09429564-0.09420019) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dl = 608.11194999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09429564-0.09420019) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dr = 608.11194999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09443569--0.09433982) × cos(0.09429564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995557459402061 × 6371000     		do = 608.074320535037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09443569--0.09433982) × cos(0.09420019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99556644205343 × 6371000     		du = 608.079807028635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09429564)-sin(0.09420019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995557459402061-0.99556644205343)×R²
    abs(-0.09433982--0.09443569)×8.98265136861642e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.98265136861642e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.98265136861642e-06×40589641000000     		ar = 369778.929287337m²