Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31782 / 31781
↖ ↑ ↗
← N  5.413679°
W  5.416260°		 ← 608.13 m → N  5.413679°
W  5.410766°		 →
↑
608.05 m
↓
↑
608.05 m
↓
N  5.408211°
W  5.416260°		 ← 608.13 m →
369 772 m²		 N  5.408211°
W  5.410766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484962463378906 y=0.484947204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484962463378906 × 216)
    floor (0.484962463378906 × 65536)
    floor (31782.5)     		tx = 31782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484947204589844 × 216)
    floor (0.484947204589844 × 65536)
    floor (31781.5)     		ty = 31781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31782 / 31781 ti = "16/31782/31781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31782/31781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31782 ÷ 216
    31782 ÷ 65536     		x = 0.484954833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31781 ÷ 216
    31781 ÷ 65536     		y = 0.484939575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484954833984375 × 2 - 1) × π
    -0.03009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09453157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484939575195312 × 2 - 1) × π
    0.030120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0946274398499908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09453157} λ = -0.09453157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0946274398499908))-π/2
    2×atan(1.09924924236551)-π/2
    2×0.832641430360511-π/2
    1.66528286072102-1.57079632675     		φ = 0.09448653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09453157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09448653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.413679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31782 KachelY 31781 -0.09453157 0.09448653 -5.416260 5.413679
    Oben rechts KachelX + 1 31783 KachelY 31781 -0.09443569 0.09448653 -5.410766 5.413679
    Unten links KachelX 31782 KachelY + 1 31782 -0.09453157 0.09439109 -5.416260 5.408211
    Unten rechts KachelX + 1 31783 KachelY + 1 31782 -0.09443569 0.09439109 -5.410766 5.408211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09448653-0.09439109) × R
    9.54400000000022e-05 × 6371000     		dl = 608.048240000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09448653-0.09439109) × R
    9.54400000000022e-05 × 6371000     		dr = 608.048240000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09453157--0.09443569) × cos(0.09448653) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995539467832183 × 6371000     		do = 608.126757323654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09453157--0.09443569) × cos(0.09439109) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995548467680465 × 6371000     		du = 608.132254894297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09448653)-sin(0.09439109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995539467832183-0.995548467680465)×R²
    abs(-0.09443569--0.09453157)×8.9998482823983e-06×R²
    9.58799999999926e-05×8.9998482823983e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×8.9998482823983e-06×40589641000000     		ar = 369772.076162311m²