Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31781 / 31780
↖ ↑ ↗
← N  5.419148°
W  5.421753°		 ← 608.06 m → N  5.419148°
W  5.416260°		 →
↑
608.11 m
↓
↑
608.11 m
↓
N  5.413679°
W  5.421753°		 ← 608.06 m →
369 769 m²		 N  5.413679°
W  5.416260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484947204589844 y=0.484931945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484947204589844 × 216)
    floor (0.484947204589844 × 65536)
    floor (31781.5)     		tx = 31781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484931945800781 × 216)
    floor (0.484931945800781 × 65536)
    floor (31780.5)     		ty = 31780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31781 / 31780 ti = "16/31781/31780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31781/31780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31781 ÷ 216
    31781 ÷ 65536     		x = 0.484939575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31780 ÷ 216
    31780 ÷ 65536     		y = 0.48492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484939575195312 × 2 - 1) × π
    -0.030120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09462744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48492431640625 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.094723313649231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09462744} λ = -0.09462744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.094723313649231))-π/2
    2×atan(1.09935463661888)-π/2
    2×0.832689153220124-π/2
    1.66537830644025-1.57079632675     		φ = 0.09458198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09462744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.421753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09458198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.419148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31781 KachelY 31780 -0.09462744 0.09458198 -5.421753 5.419148
    Oben rechts KachelX + 1 31782 KachelY 31780 -0.09453157 0.09458198 -5.416260 5.419148
    Unten links KachelX 31781 KachelY + 1 31781 -0.09462744 0.09448653 -5.421753 5.413679
    Unten rechts KachelX + 1 31782 KachelY + 1 31781 -0.09453157 0.09448653 -5.416260 5.413679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09458198-0.09448653) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dl = 608.11194999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09458198-0.09448653) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dr = 608.11194999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09462744--0.09453157) × cos(0.09458198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995530457971326 × 6371000     		do = 608.057828391372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09462744--0.09453157) × cos(0.09448653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995539467832183 × 6371000     		du = 608.063331504192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09458198)-sin(0.09448653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995530457971326-0.995539467832183)×R²
    abs(-0.09453157--0.09462744)×9.00986085605737e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.00986085605737e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.00986085605737e-06×40589641000000     		ar = 369768.905270915m²