Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31780 / 31772
↖ ↑ ↗
← N  5.462895°
W  5.427246°		 ← 608.01 m → N  5.462895°
W  5.421753°		 →
↑
607.98 m
↓
↑
607.98 m
↓
N  5.457428°
W  5.427246°		 ← 608.02 m →
369 665 m²		 N  5.457428°
W  5.421753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484931945800781 y=0.484809875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484931945800781 × 216)
    floor (0.484931945800781 × 65536)
    floor (31780.5)     		tx = 31780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484809875488281 × 216)
    floor (0.484809875488281 × 65536)
    floor (31772.5)     		ty = 31772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31780 / 31772 ti = "16/31780/31772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31780/31772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31780 ÷ 216
    31780 ÷ 65536     		x = 0.48492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31772 ÷ 216
    31772 ÷ 65536     		y = 0.48480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    0.0303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09472331} λ = -0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0954903040431519))-π/2
    2×atan(1.10019815450839)-π/2
    2×0.833070920505208-π/2
    1.66614184101042-1.57079632675     		φ = 0.09534551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09534551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.462895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31780 KachelY 31772 -0.09472331 0.09534551 -5.427246 5.462895
    Oben rechts KachelX + 1 31781 KachelY 31772 -0.09462744 0.09534551 -5.421753 5.462895
    Unten links KachelX 31780 KachelY + 1 31773 -0.09472331 0.09525008 -5.427246 5.457428
    Unten rechts KachelX + 1 31781 KachelY + 1 31773 -0.09462744 0.09525008 -5.421753 5.457428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09534551-0.09525008) × R
    9.54299999999936e-05 × 6371000     		dl = 607.984529999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09534551-0.09525008) × R
    9.54299999999936e-05 × 6371000     		dr = 607.984529999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09472331--0.09462744) × cos(0.09534551) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.995458059236125 × 6371000     		do = 608.013608129436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09472331--0.09462744) × cos(0.09525008) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.995467139745757 × 6371000     		du = 608.019154393664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09534551)-sin(0.09525008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995458059236125-0.995467139745757)×R²
    abs(-0.09462744--0.09472331)×9.08050963188689e-06×R²
    9.58700000000118e-05×9.08050963188689e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×9.08050963188689e-06×40589641000000     		ar = 369664.554074127m²