Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31779 / 31777
↖ ↑ ↗
← N  5.435554°
W  5.432739°		 ← 608.10 m → N  5.435554°
W  5.427246°		 →
↑
608.05 m
↓
↑
608.05 m
↓
N  5.430085°
W  5.432739°		 ← 608.11 m →
369 759 m²		 N  5.430085°
W  5.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484916687011719 y=0.484886169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484916687011719 × 216)
    floor (0.484916687011719 × 65536)
    floor (31779.5)     		tx = 31779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484886169433594 × 216)
    floor (0.484886169433594 × 65536)
    floor (31777.5)     		ty = 31777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31779 / 31777 ti = "16/31779/31777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31779/31777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31779 ÷ 216
    31779 ÷ 65536     		x = 0.484909057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31777 ÷ 216
    31777 ÷ 65536     		y = 0.484878540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484909057617188 × 2 - 1) × π
    -0.030181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09481919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484878540039062 × 2 - 1) × π
    0.030242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0950109350469513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09481919} λ = -0.09481919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0950109350469513))-π/2
    2×atan(1.09967088001306)-π/2
    2×0.832832319204634-π/2
    1.66566463840927-1.57079632675     		φ = 0.09486831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09481919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09486831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.435554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31779 KachelY 31777 -0.09481919 0.09486831 -5.432739 5.435554
    Oben rechts KachelX + 1 31780 KachelY 31777 -0.09472331 0.09486831 -5.427246 5.435554
    Unten links KachelX 31779 KachelY + 1 31778 -0.09481919 0.09477287 -5.432739 5.430085
    Unten rechts KachelX + 1 31780 KachelY + 1 31778 -0.09472331 0.09477287 -5.427246 5.430085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09486831-0.09477287) × R
    9.54400000000022e-05 × 6371000     		dl = 608.048240000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09486831-0.09477287) × R
    9.54400000000022e-05 × 6371000     		dr = 608.048240000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09481919--0.09472331) × cos(0.09486831) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995503375863718 × 6371000     		do = 608.104710491301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09481919--0.09472331) × cos(0.09477287) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995512411986062 × 6371000     		du = 608.110230220009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09486831)-sin(0.09477287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995503375863718-0.995512411986062)×R²
    abs(-0.09472331--0.09481919)×9.03612234404161e-06×R²
    9.58799999999926e-05×9.03612234404161e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×9.03612234404161e-06×40589641000000     		ar = 369758.677361273m²