Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31778 / 31762
↖ ↑ ↗
← N  5.517575°
W  5.438232°		 ← 607.96 m → N  5.517575°
W  5.432739°		 →
↑
607.98 m
↓
↑
607.98 m
↓
N  5.512107°
W  5.438232°		 ← 607.96 m →
369 631 m²		 N  5.512107°
W  5.432739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484901428222656 y=0.484657287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484901428222656 × 216)
    floor (0.484901428222656 × 65536)
    floor (31778.5)     		tx = 31778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484657287597656 × 216)
    floor (0.484657287597656 × 65536)
    floor (31762.5)     		ty = 31762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31778 / 31762 ti = "16/31778/31762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31778/31762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31778 ÷ 216
    31778 ÷ 65536     		x = 0.484893798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31762 ÷ 216
    31762 ÷ 65536     		y = 0.484649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484893798828125 × 2 - 1) × π
    -0.03021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09491506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484649658203125 × 2 - 1) × π
    0.03070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.096449042035553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09491506} λ = -0.09491506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.096449042035553))-π/2
    2×atan(1.10125346207918)-π/2
    2×0.833548090386517-π/2
    1.66709618077303-1.57079632675     		φ = 0.09629985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09491506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.438232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09629985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.517575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31778 KachelY 31762 -0.09491506 0.09629985 -5.438232 5.517575
    Oben rechts KachelX + 1 31779 KachelY 31762 -0.09481919 0.09629985 -5.432739 5.517575
    Unten links KachelX 31778 KachelY + 1 31763 -0.09491506 0.09620442 -5.438232 5.512107
    Unten rechts KachelX + 1 31779 KachelY + 1 31763 -0.09481919 0.09620442 -5.432739 5.512107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09629985-0.09620442) × R
    9.54300000000075e-05 × 6371000     		dl = 607.984530000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09629985-0.09620442) × R
    9.54300000000075e-05 × 6371000     		dr = 607.984530000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09491506--0.09481919) × cos(0.09629985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995366751703741 × 6371000     		do = 607.957838605258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09491506--0.09481919) × cos(0.09620442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995375922868657 × 6371000     		du = 607.963440240626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09629985)-sin(0.09620442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995366751703741-0.995375922868657)×R²
    abs(-0.09481919--0.09491506)×9.17116491627734e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.17116491627734e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.17116491627734e-06×40589641000000     		ar = 369630.663898555m²