Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31775 / 31845
↖ ↑ ↗
← N  5.063586°
W  5.454712°		 ← 608.40 m → N  5.063586°
W  5.449219°		 →
↑
608.43 m
↓
↑
608.43 m
↓
N  5.058114°
W  5.454712°		 ← 608.41 m →
370 173 m²		 N  5.058114°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484855651855469 y=0.485923767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484855651855469 × 216)
    floor (0.484855651855469 × 65536)
    floor (31775.5)     		tx = 31775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485923767089844 × 216)
    floor (0.485923767089844 × 65536)
    floor (31845.5)     		ty = 31845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31775 / 31845 ti = "16/31775/31845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31775/31845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31775 ÷ 216
    31775 ÷ 65536     		x = 0.484848022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31845 ÷ 216
    31845 ÷ 65536     		y = 0.485916137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484848022460938 × 2 - 1) × π
    -0.030303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09520268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485916137695312 × 2 - 1) × π
    0.028167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0884915166986237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09520268} λ = -0.09520268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0884915166986237))-π/2
    2×atan(1.09252498435246)-π/2
    2×0.829586288304799-π/2
    1.6591725766096-1.57079632675     		φ = 0.08837625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09520268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.454712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08837625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.063586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31775 KachelY 31845 -0.09520268 0.08837625 -5.454712 5.063586
    Oben rechts KachelX + 1 31776 KachelY 31845 -0.09510681 0.08837625 -5.449219 5.063586
    Unten links KachelX 31775 KachelY + 1 31846 -0.09520268 0.08828075 -5.454712 5.058114
    Unten rechts KachelX + 1 31776 KachelY + 1 31846 -0.09510681 0.08828075 -5.449219 5.058114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08837625-0.08828075) × R
    9.54999999999984e-05 × 6371000     		dl = 608.43049999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08837625-0.08828075) × R
    9.54999999999984e-05 × 6371000     		dr = 608.43049999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09520268--0.09510681) × cos(0.08837625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996097360295821 × 6371000     		do = 608.404085397958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09520268--0.09510681) × cos(0.08828075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996105784703158 × 6371000     		du = 608.409230922928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08837625)-sin(0.08828075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996097360295821-0.996105784703158)×R²
    abs(-0.09510681--0.09520268)×8.42440733672678e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.42440733672678e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.42440733672678e-06×40589641000000     		ar = 370173.167509228m²