Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31775 / 31837
↖ ↑ ↗
← N  5.107358°
W  5.454712°		 ← 608.36 m → N  5.107358°
W  5.449219°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.101887°
W  5.454712°		 ← 608.37 m →
370 109 m²		 N  5.101887°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484855651855469 y=0.485801696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484855651855469 × 216)
    floor (0.484855651855469 × 65536)
    floor (31775.5)     		tx = 31775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485801696777344 × 216)
    floor (0.485801696777344 × 65536)
    floor (31837.5)     		ty = 31837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31775 / 31837 ti = "16/31775/31837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31775/31837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31775 ÷ 216
    31775 ÷ 65536     		x = 0.484848022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31837 ÷ 216
    31837 ÷ 65536     		y = 0.485794067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484848022460938 × 2 - 1) × π
    -0.030303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09520268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485794067382812 × 2 - 1) × π
    0.028411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0892585070925446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09520268} λ = -0.09520268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0892585070925446))-π/2
    2×atan(1.09336326195492)-π/2
    2×0.829968273891519-π/2
    1.65993654778304-1.57079632675     		φ = 0.08914022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09520268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.454712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08914022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.107358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31775 KachelY 31837 -0.09520268 0.08914022 -5.454712 5.107358
    Oben rechts KachelX + 1 31776 KachelY 31837 -0.09510681 0.08914022 -5.449219 5.107358
    Unten links KachelX 31775 KachelY + 1 31838 -0.09520268 0.08904473 -5.454712 5.101887
    Unten rechts KachelX + 1 31776 KachelY + 1 31838 -0.09510681 0.08904473 -5.449219 5.101887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08914022-0.08904473) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dl = 608.366790000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08914022-0.08904473) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dr = 608.366790000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09520268--0.09510681) × cos(0.08914022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996029640666615 × 6371000     		do = 608.36272307665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09520268--0.09510681) × cos(0.08904473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996038136856925 × 6371000     		du = 608.367912445783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08914022)-sin(0.08904473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996029640666615-0.996038136856925)×R²
    abs(-0.09510681--0.09520268)×8.49619030940385e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.49619030940385e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.49619030940385e-06×40589641000000     		ar = 370109.255794995m²