Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31774 / 31778
↖ ↑ ↗
← N  5.430085°
W  5.460205°		 ← 608.11 m → N  5.430085°
W  5.454712°		 →
↑
608.11 m
↓
↑
608.11 m
↓
N  5.424617°
W  5.460205°		 ← 608.12 m →
369 801 m²		 N  5.424617°
W  5.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484840393066406 y=0.484901428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484840393066406 × 216)
    floor (0.484840393066406 × 65536)
    floor (31774.5)     		tx = 31774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484901428222656 × 216)
    floor (0.484901428222656 × 65536)
    floor (31778.5)     		ty = 31778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31774 / 31778 ti = "16/31774/31778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31774/31778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31774 ÷ 216
    31774 ÷ 65536     		x = 0.484832763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31778 ÷ 216
    31778 ÷ 65536     		y = 0.484893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.03033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09529856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484893798828125 × 2 - 1) × π
    0.03021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0949150612477112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09529856} λ = -0.09529856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0949150612477112))-π/2
    2×atan(1.09956545544169)-π/2
    2×0.832784597642616-π/2
    1.66556919528523-1.57079632675     		φ = 0.09477287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09529856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.460205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09477287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.430085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31774 KachelY 31778 -0.09529856 0.09477287 -5.460205 5.430085
    Oben rechts KachelX + 1 31775 KachelY 31778 -0.09520268 0.09477287 -5.454712 5.430085
    Unten links KachelX 31774 KachelY + 1 31779 -0.09529856 0.09467742 -5.460205 5.424617
    Unten rechts KachelX + 1 31775 KachelY + 1 31779 -0.09520268 0.09467742 -5.454712 5.424617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09477287-0.09467742) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dl = 608.11194999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09477287-0.09467742) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dr = 608.11194999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09529856--0.09520268) × cos(0.09477287) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995512411986062 × 6371000     		do = 608.110230220097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09529856--0.09520268) × cos(0.09467742) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995521439985849 × 6371000     		du = 608.115744987128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09477287)-sin(0.09467742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995512411986062-0.995521439985849)×R²
    abs(-0.09520268--0.09529856)×9.02799978730329e-06×R²
    9.58800000000065e-05×9.02799978730329e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×9.02799978730329e-06×40589641000000     		ar = 369800.774992747m²