Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31773 / 31820
↖ ↑ ↗
← N  5.200365°
W  5.465698°		 ← 608.27 m → N  5.200365°
W  5.460205°		 →
↑
608.30 m
↓
↑
608.30 m
↓
N  5.194894°
W  5.465698°		 ← 608.28 m →
370 016 m²		 N  5.194894°
W  5.460205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484825134277344 y=0.485542297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484825134277344 × 216)
    floor (0.484825134277344 × 65536)
    floor (31773.5)     		tx = 31773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485542297363281 × 216)
    floor (0.485542297363281 × 65536)
    floor (31820.5)     		ty = 31820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31773 / 31820 ti = "16/31773/31820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31773/31820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31773 ÷ 216
    31773 ÷ 65536     		x = 0.484817504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31820 ÷ 216
    31820 ÷ 65536     		y = 0.48553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484817504882812 × 2 - 1) × π
    -0.030364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09539443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48553466796875 × 2 - 1) × π
    0.0289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0908883616796265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09539443} λ = -0.09539443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0908883616796265))-π/2
    2×atan(1.09514673809134)-π/2
    2×0.830779906391693-π/2
    1.66155981278339-1.57079632675     		φ = 0.09076349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09539443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.465698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09076349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.200365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31773 KachelY 31820 -0.09539443 0.09076349 -5.465698 5.200365
    Oben rechts KachelX + 1 31774 KachelY 31820 -0.09529856 0.09076349 -5.460205 5.200365
    Unten links KachelX 31773 KachelY + 1 31821 -0.09539443 0.09066801 -5.465698 5.194894
    Unten rechts KachelX + 1 31774 KachelY + 1 31821 -0.09529856 0.09066801 -5.460205 5.194894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09076349-0.09066801) × R
    9.54800000000089e-05 × 6371000     		dl = 608.303080000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09076349-0.09066801) × R
    9.54800000000089e-05 × 6371000     		dr = 608.303080000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09539443--0.09529856) × cos(0.09076349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995883821366268 × 6371000     		do = 608.273658431368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09539443--0.09529856) × cos(0.09066801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995892471031159 × 6371000     		du = 608.278941540898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09076349)-sin(0.09066801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995883821366268-0.995892471031159)×R²
    abs(-0.09529856--0.09539443)×8.64966489066976e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.64966489066976e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.64966489066976e-06×40589641000000     		ar = 370016.347053689m²