Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31773 / 31789
↖ ↑ ↗
← N  5.369929°
W  5.465698°		 ← 608.11 m → N  5.369929°
W  5.460205°		 →
↑
608.18 m
↓
↑
608.18 m
↓
N  5.364459°
W  5.465698°		 ← 608.11 m →
369 838 m²		 N  5.364459°
W  5.460205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484825134277344 y=0.485069274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484825134277344 × 216)
    floor (0.484825134277344 × 65536)
    floor (31773.5)     		tx = 31773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485069274902344 × 216)
    floor (0.485069274902344 × 65536)
    floor (31789.5)     		ty = 31789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31773 / 31789 ti = "16/31773/31789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31773/31789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31773 ÷ 216
    31773 ÷ 65536     		x = 0.484817504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31789 ÷ 216
    31789 ÷ 65536     		y = 0.485061645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484817504882812 × 2 - 1) × π
    -0.030364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09539443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485061645507812 × 2 - 1) × π
    0.029876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0938604494560699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09539443} λ = -0.09539443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0938604494560699))-π/2
    2×atan(1.09840645200346)-π/2
    2×0.832259631979684-π/2
    1.66451926395937-1.57079632675     		φ = 0.09372294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09539443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.465698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09372294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.369929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31773 KachelY 31789 -0.09539443 0.09372294 -5.465698 5.369929
    Oben rechts KachelX + 1 31774 KachelY 31789 -0.09529856 0.09372294 -5.460205 5.369929
    Unten links KachelX 31773 KachelY + 1 31790 -0.09539443 0.09362748 -5.465698 5.364459
    Unten rechts KachelX + 1 31774 KachelY + 1 31790 -0.09529856 0.09362748 -5.460205 5.364459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09372294-0.09362748) × R
    9.54600000000055e-05 × 6371000     		dl = 608.175660000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09372294-0.09362748) × R
    9.54600000000055e-05 × 6371000     		dr = 608.175660000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09539443--0.09529856) × cos(0.09372294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995611219253995 × 6371000     		do = 608.107156395115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09539443--0.09529856) × cos(0.09362748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995620148417188 × 6371000     		du = 608.11261021879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09372294)-sin(0.09362748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995611219253995-0.995620148417188)×R²
    abs(-0.09529856--0.09539443)×8.92916319350512e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.92916319350512e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.92916319350512e-06×40589641000000     		ar = 369837.629913595m²